有限p群中内∑群的推广及其应用研究

Let ∑ be a property of a group, t a non-negative integer. If t＞0, a finite p-group G is called a ∑_t-group if all subgroups of index ≥p^t are ∑-subgroups and there exists a non-∑-subgroup of index p^{t-1}. If t=0, then a ∑ group is called a ∑_0 group. In this item, we will respectively study ∑_t-groups when ∑ is abelian、meta-cyclic、derived cyclic、meta-abelian、p-abelian and regular. Firstly, we will classify some ∑_t –groups for a small nteger t. On the basis of these results, we will secondly study some ∑_t –groups for a large t, and give the relations and differents between the ∑_t-groups with different property ∑. Finally, we will summarize some properties and structures of general ∑_t-groups, and use these results to study more ∑_t-groups with special property ∑.

设∑为一抽象群论性质，t为任意一个非负整数. 当t＞0时, 称一个有限p群G是∑_t群, 如果G的所有指数为≥p^t的子群都是∑群且存在指数为p^{t-1}的子群不是∑群. 当t=0时, 称∑群是∑0群. 本项目对∑分别为交换、亚循环、导群循环、亚交换、p交换和正则时的∑_t群进行研究. 首先，本项目拟分类一些t较小的∑_t群. 在此基础上进一步研究t较大的∑_t群的结构, 揭示不同∑的∑_t群之间的联系和区别. 最后，总结抽象出一般∑_t群若干性质和结构, 并应用到一些具体的∑_t群的研究中.

本项目推广了内∑群, 引入了∑_t群的概念, 并对∑_t群的正规结构, 算数结构和∑_i子群的分布进行了研究. 首先, 我们利用非正规子群的正规闭包和正规化子研究了∑_t群的正规结构, 分类了非正规子群的正规闭包较大的∑_t群和正规化子较小的∑_t群. 其次, 我们研究了A_t群的生成元个数, 极小A_1生成数以及A_1子群个数等算数结构, 分别分类了生成元个数最多的A_t群, A_1子群个数较少的A_t群. 最后, 我们研究了A_t群的A_i子群在阶上的分布规律, 分类了A_i子群在阶上的分布较特殊的A_t群. . 本项目共发表学术论文3篇, 其中2篇被SCI收录, 完成硕士毕业论文11篇, 在国内学术会议上学术报告7人次. 总之, 项目的预期目标圆满完成.