非局部非线性系统的对称性和可积性研究

One of the central topics in the recent study of modern mathematical physics is nonlocal nonlinear system, which describes the physical model involving the closely correlated events at different space-times. Studying nonlocal nonlinear system from different viewpoints becomes more and more important, symmetry study is a basic method to treat differential equation in level of the algebraic structure while integrability can provide some information on the exact solution. In this project we will mainly focus on: A) Study the local and nonlocal symmetries of nonlocal nonlinear system, consider group transformation and similarity reduction, and construct group-invariant PsTd symmetric preserving and breaking solution, conservation laws and nonlocal integrable hierarchies. B) Use the KP-hierarchy reduction theory to study integrability and exact solution of the nonlocal nonlinear system, reveal the algebraic link between nonlocal system and local one, and further establish the integrable discrete analogue of nonlocal system. This will lead to a kind of interaction solutions among different nonlinear waves, find the essential relation of nonlinear physical models, which provides a new way for the research of mathematical physics.

非局部的非线性系统是描述不同时空中相关联事件的物理模型，是最近数学物理研究的热点之一。从不同角度研究非局部非线性系统显得尤为重要，对称研究是从代数结构上研究微分方程的基本方法，而可积性在一定程度上为精确解构造提了理论依据。本项目主要研究：A)研究非局部非线性系统的局域和非局域对称，并进一步考虑群变换和相似约化，构造群不变型的PsTd对称保持和破缺解、守恒律及非局部型可积梯队； B) 利用KP约化理论研究非局部非线性系统的可积性和精确解，揭示非局部系统与局部系统之间的代数联系，进一步研究非局部系统的可积离散格式。这将得到具有实际物理背景的不同非线性波相互作用解, 揭示非线性物理模型中深层次的内在联系，为数学物理的研究提供新的途径。

非局部的非线性方程是最近数学物理研究的热点之一。对这类方程的精确解和可积性的研究，可以创新非线性可积系统研究的数学方法与途径，为实际物理现象解释与预测奠定一定的理论基础。. 项目主要研究了非局部的可积方程的对称、精确解、可积性及可积离散格式等。项目按照计划顺利进行，完成了各阶段的工作，主要研究成果已在数学物理领域的国内外一些重要杂志发表20余篇SCI论文，较好地完成了预期研究目标。主要的研究结果如下：. 一、发展了双线性Kadomtsev-Petviashvili (KP)族约化理论在非局部连续和离散系统中的应用，对逆空间和时间对称的两类聚焦非线性Schrödinger(NLS)方程的亮孤子解、非局部的半离散NLS方程的Casorati行列式形式暗孤子解的进行了研究，揭示了非局部对称代数约化条件，获得了成对孤子和呼吸子解并对其动力学进行了分析。. 二、扩展了非局部对称性理论在非局部系统中的研究。基于非局部Alice-Bob(AB)原则，在引入了带平移的宇称和带延迟的时间反演的离散对称下，建立一系列的非局部AB可积模型，比如AB-mKdV系统、 AB-KP系统、AB-Sawada-Kotera系统和AB-Hirota-Satsuma-Ito系统。利用直接对称法、Painlevé截断展开法和双线性方法，研究了这些系统的局域和非局域对称、Bäcklund变换、对称保持和破缺解、孤子解、团块解、呼吸子解以及孤子-周期波相互作用解。. 三、基于直接双线性方法和改进的KP族约化方法，研究了Yajima-Oikawa型和Newell型的长短波系统的一般高阶怪波，并对其产生机制进行了探讨；研究了Newell系统的双线性形式及其Gram行列式形式的亮、暗和呼吸子解；研究了两维Toda链方程、Kaup-Kupershmidt方程和变系数KP方程的有理团块解、团块-孤子混合解，发现了可预测的双绞型怪波现象。