带PML的高波数散射问题的数值方法研究

在声波和电磁波散射问题当中有许多高频问题、即高波数散射问题。相应的有效数值解法研究是计算数学界近几十年没有解决的著名公开问题。O.C.Zienkiewicz在2000年将高波数散射问题列为已有的有限元技巧还不足以解决的问题之一。本项目将几种现代技术- - 完美匹配层（PML）、自适应、hp-间断Galerkin方法- - 结合起来设计高波数声波和电磁波散射问题的高精度数值格式，我们将研究带截断PML边界条件的高波数散射问题的稳定性估计，及其hp-加罚间断Galerkin离散的稳定性和先验误差估计。本项目所得的估计将是预渐近的（Pre-asymptotic），适用于较粗的网格。我们还将研究高波数散射问题的自适应PML算法，高效处理带奇性的问题，减小污染效应的影响，和控制数值求解的精度。本项目难度较大，具有重要的理论意义和应用价值，将为解决高波数散射问题的数值模拟问题作出贡献。

在声波和电磁波散射问题当中有许多高频问题、即高波数散射问题。相应的有效数值解法研究是计算数学界近几十年没有解决的著名公开问题。O.C.Zienkiewicz在2000年将高波数散射问题列为已有的有限元技巧还不足以解决的问题之一。本项目主要得到了如下结果: 1）对带Robin边界条件的高波数Helmholtz散射问题提出了复加罚的內罚有限元方法，并证明了绝对稳定性及给出了预渐近误差估计，在二维和三维情形，在k^{p+2}h^{p+1}足够小的条件下，证明了内罚有限元方法和有限元方法在H^1范数下的污染误差为O(k^{2p+1}h^{2p})，和色散分析得到的相位差同阶。关于有限元方法的结果是高维问题的第一个预渐近误差估计。2）对一类无界粗糙表面问题的三维电磁波散射问题，证明了其截断的PML问题的解关于PML参数的指数收敛速度于原散射问题的解。3）对一类填充物过满的三维腔体的电磁波散射问题，证明了其截断的PML问题的指数收敛性。4）对三维椭圆问题自适应有限元方法和Maxwell方程组的自适应棱有限元方法，证明了多重网格方法的一致收敛性。