小波数值方法研究及应用

There has been an increasing interest and many achievements in research on wavelet based numerical method in the past two decades. However,it is still difficult to use wavelet based numrical method to solve practical problems in engineering, espically in the domain of computatioanal mechanics. The main goal of this research project is to study and develop an effective wavelet based method for problems in computational mechanics. In the research, new wavelet functions which are appropriate for numerical simulation would be found and constructed. The emphases of the research project is to find a effective method to deal with problems with complex geometry in function appximation,integration, boundary condition and approximation in discontinuity. In order to make the most of the characteristic of the wavelet, the wavelelt based numerical method will be used to solve complicated problems with singularity,nolinear and three dimension. In addition,the multi-scale method based on common wavelet would be further developed in this project. finally,the newly developed wavelet numerical method would be used to solve practical engineering problems such as the simulation of the process of impact damage of miniature specimen.

小波数值方法的研究已有十几年的历史，并取得一定的成果，但小波数值方法用于解决实际工程问题的研究还远远不够，仍有许多需要解决的难题，特别是在计算力学领域，小波数值方法涉及的不多。本项目主要就是研究并发展一套能有效处理一般计算力学问题的小波数值方法。首先在小波基函数的构造上有所突破，找到更适合于数值模拟的新的小波基。本项目的重点是研究小波数值方法处理具有复杂几何形状问题的有效方案，使在复杂问题中的函数近似，积分，边界条件处理，不连续近似及导数不连续等问题能得到有效解决。为发挥小波特点，并了解小波方法在解决复杂力学问题中的数值表现，为小波方法的进一步发展提供根据，本项目将小波数值方法用于处理奇异问题、复杂非线性问题及求解三维问题并实现一般小波的多尺度自适应方法为小波方法用于实际工程问题打下基础。本项目最后将小波方法用于微试样冲击破坏过程的数值模拟，尝试在解决实际工程问题中发挥小波的作用。

小波数值方法的研究已有几十年的历史，并取得一定的成果，但小波数值方法用于解决实际工程问题的研究还远远不够，仍有许多需要解决的难题，特别是在计算力学领域，小波数值方法涉及的不多。本项目主要致力于研究并发展一套能有效处理一般计算力学问题的小波数值方法。主要研究内容有：.1. 在小波基函数的构造上有所突破，找到更适合于数值模拟的新的小波基。.2. 突破传统方法的限制，将小波数值方法用于非结构网格，提高该方法的适用性。.3. 小波数值方法处理具有复杂几何形状问题的有效方案，使在复杂问题中的函数近似，积分，边界条件处理，不连续近似及导数不连续等问题能得到有效解决。.4. 小波数值方法与有限元等成熟数值方法的耦合方案，充分利用小波方法和其它数值方法的优点解决实际问题。.5．多片小波数值方法耦合，不同区域使用不同尺度的基函数，提高小波数值方法的计算效率和适用性。.6. 将小波数值方法用于处理奇异问题、复杂非线性问题及求解三维问题。.目前本项目已完成所有研究内容并取得若干研究成果，主要有：.1. 对DB小波基进行改造，引入左边界基函数，扩大了DB小波基函数的应用范围并提高其数值稳定性。利用特殊滤波器系数构造了一种适合数值模拟的尺度函数，新尺度函数在数值模拟中的精度，稳定性非常好。.2. 将小波数值方法用于B样条基函数描述的问题几何，实现小波方法用于非结构网格，且该方法的精度和稳定性都很好。.3. 结合等几何分析技术，成功发展出可有效处理任意边界条件的小波数值方法，并进一步发展出局部细化分析技术及有效处理不连续近似及导数不连续等问题的有效方法。.4. 研究出了一种新的耦合技术，成功用于小波数值方法与有限元法的耦合，与其它传统耦合方法相比，新耦合方法几乎没有明显的缺陷。.5. 采用新的耦合技术，耦合在不同区域使用的采用不同尺度的基函数，提高了小波数值方法的计算效率和适用性。.6. 利用以上取得的研究成果，成功将小波数值方法用于二维裂纹问题、几何非线性问题及三维问题的求解。.通过本项目的研究，小波数值方法在数值模拟及应用中的一些关键问题得到解决，数值算例显示基于本项目研究成果的小波数值方法精度高，稳定性，收敛性好，为该方法的进一步发展及实际应用打下了一定的基础。而且，本项目研究发展的方法可以很容易推广到其它数值方法，如有限单元法，无网格法，等几何方法等。