单态射范畴及其在代数和几何中的应用

The recent studies hint that submodule categories possibly describe Gorenstein-projective modules and singularities. For a given quiver Q and category C, this project will systematically study the monomorphism category Mon(Q,C) with applications in algebra and geometry. If C is the module category of an algebra A and Q is the quiver of type A_2, then Mon(Q,A) is just the submodule category of A. In general, Mon(Q,A) is a full subcategory of deep properties in the module category of the tensor product of the path algebra of Q and A...This project will study the functorially finiteness、the Frobenius property, the relative Auslander-Reiten theory, and the symmetric recollements, of monomorphism categories. We will explicitly determine the category of the Gorenstein-projective modules of the corresponding tensor algebra, via the monomorphism category together with other conditions; describe the singularity cateogry of the corresponding algebra via the stable category of monomorphism category, and categorically resolve or formally resolve the singularities. We will also construct Calabi-Yau categories of fractional dimension from monomorphism category; and establish the possible relations among the three kinds of stable equivalences,arsing from the module stable category, the stable category of G-projective modules, and the G-stable category. ..These researches will hopefully be of importance to understand and explore the relations among Gorenstein homological algebra, representation theory, singularity theory, stable triangulated categories, and Calabi-Yau categories. Since the monomorphism categories have explicit constructions, these relations will provide a peculiar insight and a powerful tool for obtaining new results in the fields mentioned above.

最近研究表明子模范畴可描述G-投射模和奇点。对有向图Q和范畴C，本项目拟系统研究一般的单态射范畴Mon(Q,C)及其在代数和几何中的应用。当C取代数A的模范畴且Q取A_2型图时，它就是子模范畴；一般地它是Q的路代数与A的张量代数的模范畴的一个性质奇特的全子范畴。.本项目拟研究单态射范畴的函子有限性、Frobenius性、相对AR理论、和其对称拆合；利用它和其它条件确定相应的张量代数的G-投射模；通过它的稳定三角范畴描述相应代数的奇点及其类型、范畴化消解或形式消解奇点；由单态射范畴构造分数维数的Calabi-Yau范畴；建立模稳定范畴、G-投射模稳定范畴和G-稳定范畴以及3种稳定等价之间的关系。.这些研究对进一步揭示G-同调代数、表示论、奇点理论、稳定三角和CY范畴之间的联系，具有重要科学意义。由于单态射范畴的明确可构性，这些联系为在相关方向取得新成果，将提供独特视野和有力工具。

本项目完成20篇论文(16篇已发表或接受发表)，出版著作2部。据不完全统计已有50余次SCI他引，包括本领域知名数学家。项目负责人数次应邀在国际学术会议做大会报告，3次在国家基金委数学天元基金会全国研究生暑期学校主讲代数学。博士生在项目中成长。对人才培养起到作用。17人次国外专家来华合作交流，其中Claus Ringel是本项目参加者，17个月在华工作,任上海交大访问讲席教授。项目负责人任国际纯粹与应用数学中心委员；《Sci. China Math.》,《FJMS》, 《ISRN Algebra》等编委。本项目科学成果简述如下。.引入单态射表示；证明它有AR序列并具Frobenius结构；完全描述相应张量代数上Gorenstein投射模。发现单算子和垂直算子之间的互反律。获得S(A，n) 的相对AR平移公式；得到一类新的Calabi-Yau范畴。并在带关系理想和双模的情形推广上述工作。.引入相容双模，据此完全确定三角矩阵代数的Gorenstein投射模；引入对称recollement，得到一类奇点范畴的对称recollement。该文被列为J. Algebra 2013全年Top 25 Hottest Articles 第4。引入 perfect 微分模，建立了Q的路代数与对偶数代数张量积上不可分解非投射Gorenstein 投射模与 Q 的不可分解表示之间的1-1对应。.发现对象的函子；并用可裂单态射进行刻画。据此Vidier函子和满三角函子均是对象的函子。历经18年项目负责人完成《三角范畴和导出范畴》，作为《现代数学基础丛书155卷》 由科学出版社2015年出版，2016年已第2次印刷。.在更广意义下得到Gorenstein范畴的稳定性;证明了CM 有限代数相对Auslander代数是CM 自由的; CM 有限代数的 Gorenstein 亏格范畴等价于其相对Auslander 代数的奇点范畴。.通过Morita 环的导出范畴说明CPS关于三角范畴recollement等价的定理对左recollements不成立；同时给出成立的充要条件。这解决了长期的公开问题。通过Gorenstein 矩阵代数的导出范畴和奇点范畴得到双边无限 ladder. 提出用相对导出范畴进行范畴化奇点消解。