函数型数据学习理论

As the rapid development of technology of data collection, the data sampled from continuous phenomenon are of function characteristic, and therefore are known as functional data. Functional data appear naturally in science, technology and social life and have received more wide attention recently. Many methods in traditionally statistical analysis for data can’t be used to functional data analysis, and approximation theory plays a more important role. In this project we analyze functional data from point views of leaning theory and approximation theory. The purpose is to develop systematically leaning theory with functional data。 We shall discuss the sparse representation for functional data and efficient dimensionality reduction, construct adaptive learning algorithms, sparse leaning algorithms and learning algorithms based on random projection. The consistecy and learning rates will be established. The methods and theories in approximation theory, harmonic analysis, wavelet analysis and compressed sensing will be merged in our work.

随着数据采集技术不断提高，许多对连续现象采集所得到的数据呈现函数特征，这类数据被称为函数型数据。函数型数据在科学研究、工程技术及社会生活中大量出现，近年来受到越来越广泛重视。分析函数型数据的方法与传统的统计方法有很大区别，需要更多的函数论尤其是函数逼近论方法。本项目从学习理论、逼近论角度进行函数型数据分析，主要目标是系统地发展关于函数型数据的学习理论，拓宽学习理论的理论基础与应用范围。主要研究内容有函数型数据稀疏表示与有效降维，构造自适应的学习算法，稀疏学习算法，基于随机投影等学习算法的构造与推广能力，刻画函数型数据学习算法关于变量稀疏性，函数型数据回归与逆回归同时逼近问题。本项目将函数逼近论、调和分析、小波分析、统计学习理论和压缩感知的有关理论和方法从本质上融合起来，将深刻的数学理论研究应用到与科技发展密切相关的研究领域。

本项目从事函数型数据学习理论方面研究，在稀疏函数型数据的恢复，函数型支持向量机回归，一般框架下函数型统计推断（包括典型相关，回归与预测，降秩回归）等方面取得了重要进展，拓宽现有函数型数据分析的理论基础与应用范围。. 主要研究内容和重要结果如下。提出并研究了基于小波的函数型数据恢复算法法，得到了最优的恢复误差。我们的方法对光滑度具有自适应性，对奇异点具有局部性；为了克服系数（权）函数的存在性困难，我们系统地开展了在一般框架下的研究工作，给出典型相关，回归与预测和降秩回归等估计误差界，minimax最优界问题，为该方向的发展奠定和拓宽了基础；提出并考虑了函数型支持向量回归，该算法不要求核与未知分布之间的“对齐关系”；提出并考虑同时回归问题，该算法不仅包含回归，还跟典型相关有着本质联系；在再生核Hilbert空间协方差算子估计方面，我们建立了最优界，构造了最优估计器。. 毕业博士生2人，硕士生5人。发表论文12篇（其中SCI论文10篇，中国科学2篇），在线发表SCI论文1篇，接受SCI论文1篇，投稿论文4篇。