函数型数据的统计推断

函数型数据分析的主要研究对象是随机过程的独立同分布样本。本项目将研究函数线性模型中诸如变系数模型、半参数模型、方差分析模型及混合线性模型中的参数和非参数估计方法以及光滑参数选择方法并推导估计量的大样本性质；研究随机过程的均值函数、方差函数、协方差函数、特征值和特征函数的估计方法及估计量的概率性质；研究函数型数据的稳健性估计以及函数型空间数据和函数型时空数据的参数和非参数估计及估计量的性质。项目组将依据在变系数模型、部分线性模型、纵向数据、最小一乘估计法、M-估计法、局部多项式估计法、Spline函数估计法、空间数据统计分析以及Banach空间上的概率论等方面的研究经验和理论运用最优化理论与方法、概率极限理论以及Banach空间上随机元的极限理论并结合Spline函数理论及局部多项式的性质来解决函数型数据统计中的这一类复杂问题。

函数型数据分析的主要研究对象是随机过程的独立同分布样本。本项目研究函数线性模型中诸如变系数模型、半参数模型及混合线性模型中的参数和非参数估计方法以及光滑参数选择方法并推导估计量的大样本性质；研究随机过程的均值函数、方差函数、协方差函数、特征值和特征函数的估计方法及估计量的概率性质；研究函数型数据的稳健性估计以及函数型空间数据的参数和非参数估计及估计量的性质。. 函数线性模型的统计推断方面，研究了函数系数模型（又称为变系数模型）中未知函数的估计问题。提出了一种逐元B-spline估计法用于估计函数系数模型中的未知函数，建立了未知函数估计量的局部渐近偏差和方差，推导了估计量的渐近分布并利用渐近分布构造了未知系数函数的逐点渐近置信区间。使用最小Hellinger距离估计方法估计混合模型中的未知参数,得到最小Hellinger距离估计量，推导了估计量的渐近性质，给出了估计量的具体计算方法。. 在函数型数据稳健性统计推断及函数主成分分析方面，开发了一种M-型估计法，这种M-型估计法包含最常用的最小二乘估计法、分位数估计法以及稳健均值估计法等。建立了未知函数的M-型估计量的整体收敛速度，开发“调整”参数选择方法。推导了部分线性函数型模型中未知参数和函数分位数估计量的诸如相合性、收敛速度及渐近分布等概率性质，并推导了平均平方预测误差收敛速度。. 在函数型空间数据的统计分析方面，我们研究空间函数系数模型中的未知函数的M-型估计量，在平稳和非平稳空间数据情形下，建立了未知系数函数估计量在内点及边界点的大样本理论，如相合性及渐近分布等并给出了估计量的窗宽选择方法。建立了部分线性函数系数模型中未知函数估计量的渐近性质，包括收敛速度和渐近分布等。研究了部分线性函数系数模型的稳健性估计。