测量值相关的稀疏信号可重构条件研究

The core issue in compressive sensing is sparse signal reconstruction. The present research on the reconstructed conditions of sparse signals are mainly based on the properties of the measured matrix, including the spark, mutual-coherence, Babel function and the k-restricted isometry constants of matrix, but it doesn't consider the effects of measured value. As a result, the reconstruction conditions of sparse signals which it got are too conservative and too rigid. Moreover, the present reconstruction algorithms mostly developed from an optimization problem using 1-norm regularization, and hence there exist the quantities of redundant data which is hard omit and the position of the scale coefficient of sparse is difficult to distinguish. Therefore, it is important and meaningful both in theory and application to bulid the reconstruction codtions of sparse sigals which is related to measured value and develop the new reconstruction algorithm. The project aims to do a in-depth study into the essential characteristics of spare signal reconstruction related to measured value and the new reconstruction algorithm for 0-norm optimization problems, based on investigating the characteristics of augmented matrix made up of measured value and measured matrix and the minimum linear representation theory of vector, and explore a new theory and method for the research of sparse signal reconstruction.

稀疏信号重构是压缩感知理论中的核心问题。现有的稀疏信号可重构的条件研究主要是基于测量矩阵的性质（包括矩阵的Spark、相干性和Babel 函数，以及矩阵的k-约束等距常数等），而没有考虑到测量值的作用，因此得到的稀疏信号可重构条件过于保守，过于刚性；现有的重构算法也大多是基于优化1-范数而发展起来的，因而存在数据的大量冗余难以去除、稀疏系数尺度的位置难以区分等不足。所以，建立与测量值相关的稀疏信号可重构的条件和发展新的重构算法具有重要的理论意义和应用价值。本项目拟在研究测量值与测量矩阵组成的增广矩阵的特性以及向量的最小线性表示理论的基础上，对与测量值相关的稀疏信号可重构的本质特征和0-范数优化问题的新重构算法进行深入研究，旨在为稀疏信号重构问题的研究探索出一种新的理论和方法。

稀疏信号重构是压缩感知理论中的核心问题。现有的稀疏信号可重构的条件研究主要是基于测量矩阵的性质，没有考虑到测量值的影响，因而得到的稀疏信号可重构条件过于保守，过于刚性；现有的重构算法也大多是基于优化1-范数而发展起来的，因而存在诸多不足。因此，本项目主要研究测量值相关的稀疏信号可重构的本质特征和发展针对 0-范数优化问题的数学理论与方法，旨在为稀疏信号重构问题的研究探索出一种新的理论和方法。本项目的主要研究内容有：（1） p-范数优化问题的理论和算法研究。证明了存在常数p(A,b)和q(A,b)，使得当 p< q(A,b) 时，p-范数优化问题的最优解随着p的减小而变得更加稀疏，以及当 p< p(A,b) 时， p-范数优化问题和0-范数优化问题等价；（2）0-范数优化问题的理论和算法研究。首先，证明了在与测量矩阵A和测量值b相关的某种条件下，指数函数e^(-q|x|)以及分式函数a|x|/1+a|x|的最小化问题与 0-范数优化问题等价，并构造了求解它们的算法。其次，先构造带有参数的收缩算子，再证明该收缩算子是某个非凸函数的邻近算子，然后用该非凸函数作为0-范数的松弛函数，并设计了对应的迭代阈值算法。（3）可重构稀疏信号的测量矩阵的性质研究。研究了测量矩阵的预处理对于高斯测量矩阵和伯努利测量矩阵的互不相干性和RIP造成的影响，以及提升OMP算法支撑恢复率的作用。（4）稀疏凸优化模型的理论和算法研究。用约束集有关的指示函数的Moreau包络去近似代替该指示函数，提出了新的针对在噪音测量下的无约束稀疏模型，并分析了新的近似模型的目标函数值收敛到原始目标函数值的收敛速率问题等。另外，对于多块约束的结构凸优化模型研究，提出了广义临近点算法框架。在此框架下意义下，增广拉格朗日方法和交替乘子方法是其两个特例。进一步，通过设计新的快速下降方法，可以有效解决多块约束的结构凸优化问题。