基于测量值的非线性稀疏信号恢复条件研究

Sparse signal reconstrution is the core problem in compressed sensing theory. The signal reconstruction of the most of the existing methods does not take into account the signal structure. Generally, it is assumed that the dictionary matrix is a fixed matrix, which we call linear sparse reconstruction. In fact, linear sparse reconstruction model can not fully response signals of real structures. So, we utilize a dictionary function matrix to replace the original constant matrix. We call this structure of the model as nonlinear sparse signal reconstruction model. On the other hand, most people consider the constant matrix, without considering the measured value. The recovery condition of the sparse signal can not reflect the influence of the measured value on the signal recovery. Therefore, the development of mathematical theory and method of sparse signal reconstruction measurement based on measure value and funtion matrix has important theory significance and application value.

稀疏信号重构是压缩感知理论中的核心问题。现有的研究信号重构问题大多数没有考虑信号的结构，一般假定字典矩阵为给定的常数矩阵，我们称之为线性稀疏重构。 而对于实际应用中的稀疏信号，线性稀疏重构模型就不能完全反应信号的真实结构，基于此，我们采用了字典函数矩阵代替原有的常数矩阵，由此构造的模型，我们称之为非线性稀疏信号重构模型。另一方面，现有的学者对稀疏信号重构的研究，大多数只考虑常数矩阵或字典函数矩阵，而没有考虑测量值，这使得稀疏信号的恢复条件不能真实的反应测量值对信号恢复的影响。因此，发展基于测量值和函数矩阵的非线性稀疏信号重构的数学理论和和方法具有重要的理论意义和应用价值。

传统方式下的信号处理，是按照 Nyquist-Shannon 采样定律对信号进行采样，得到大量的采样数据，然后对整个信号再进行压缩。根据Nyquist-Shannon 采样定律，为了从信号采样中完全重构出信号，人们必须以两倍于信号带宽的速率进行采样。因此，随着信息量需求的增长，携带信息的信号带宽越来越大，采样速率越来越高。这不仅对信号处理的能力提出了更高的要求，也给传感设备提出了极大的挑战。. 另一方面，为了降低信号的存储、处理和传输成本，人们又不得不经由压缩方式减少信号表示的比特数，以此抛弃认为不重要的数据，这种先高速采样再舍弃的采样过程显然会对采样资源带来巨大浪费。既然传统方法采样的绝大多数数据会被丢弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接采集需要保留的少数数据呢？在这种背景下，Candes 和 Donoho等人2004年提出了压缩感知理论：只要信号是稀疏的，我们就可以通过非自适应性测量采样，获得与自适应性测量近似相同的信号重构。.值得注意的是，压缩感知理论的前提条件是信号的稀疏性，与此相关的三个方面的基本问题是：信号的稀疏表示、测量采样方式的选择、稀疏信号的重构。特别的，稀疏信号重构是指，基于测量采样获得的测量值y，通过求解一个非凸优化问题，称之为（P_0）问题：. $${\min_{z \to R^N}}||z||_0, s.t. y=Az$$.获得稀疏解$z^*$，进而可重构出原始信号X。.主要成果：.基于不同的先验信息，将字典函数具体化，其次基于同一非线性稀疏表示模型$$\min_{y\in R^N}||y-A(x)||_0 s.t. ||x||_0\leq \epsilon$$，对于不同的具体化的字典得到稀疏解的差异性。.完成了测量值y与矩阵A之间关系的定性研究，特别的，测量值y与1-范数优化问题稀疏信号重构条件的研究。.以上研究，为非线性稀疏信号的恢复问题提供了理论支撑和技术保障。