信号稀疏表示的广义测不准原理研究

This project mainly studies the generalized uncertainty principles on sparse representation. The important research aspects are as follows: the mathematical proofs and derivations of generalized Heisenberg and entropic uncertainty principles for orthogonal base sets, non-orthogonal base sets and frames. This project will search the best conditions that the signal can be represented sparsely by orthogonal base sets, non-orthogonal base sets and frames, and the equivalent conditions of norm and entropy that the signal can be best represented sparsely, and the rules of engineering applications for the fast searching of best bases. Namely, according to the conditions and rules, for given signals and bases, the bounds of sparse representation and the best base sets can be obtained. The main aim of this project is that these research results will be primarily to contribute to a better improvement of sparse representation and solve the problem of engineering applications for these uncertainty principles.

本项目开展信号稀疏表示理论的广义测不准原理研究。其研究重点是，对正交基集、非正交基集及框架在不同范数下的Heisenberg和熵广义测不准原理的理论进行数学推导。探讨信号能够用正交基集、非正交基集以及框架等最佳稀疏表示的条件、最佳稀疏表示的范数与熵等价的理论条件、工程判据以及选择基函数集的快速算法等，即给定基函数集和信号，根据理论条件和工程判据确定该基函数集稀疏表示信号的适应性，通过遴选算法来确定最佳稀疏表示的基函数集。通过本项目研究，力争完善信号稀疏表示的理论，改善稀疏表示广义测不准原理的适用性。

本信号稀疏表示是信号处理中的关键技术之一，在信息通信、数据采集、数据压缩、目标识别等方面均具有广泛的应用。信号稀疏表示可归纳为三个问题：（一），基函数集最佳稀疏表示信号的充要条件是什么；（二），如何选择信号最佳稀疏表示的基函数集；（三），如何设计得到基函数集最佳稀疏分解信号的算法和信号的重构。本项目从以上角度开展了信号稀疏表示理论的广义测不准原理研究。给出了信号稀疏表示的香农熵、Renyi熵广义测不准原理，研究用正交基集等信号最佳稀疏表示的0范数、1范数以及最小熵等价的理论条件、工程判据以及基函数集的快速选择算法等；给出了Hilbert变换产生复数的广义测不准原理及应用，证明了实数信号经Hilbert变换后进行分析其分辨率有明显提高；另外，离散分数阶基函数下的广义测不准原理研究方面给出了离散信号下两种基函数的稀疏表示情况，包括边界条件和滤波最优参数估计等。基于彩色图像的四元数表示和稀疏张量优化理论，实现了一种具有实时性且效果好的傻瓜式调色处理算法，既适合于专业和非专业调色需求，同时对于色盲人士的使用也很便利；开发出了一种基于联合二维Bedrosian定理的图像分解和纹理分析方法，不仅推导了联合二维Bedrosian定理的相关理论，而且给出了基于该理论的图像分解算法，效果优于BEMD等分量分解算法，已申请报国家发明专利；同时，给出了一种基于辅助分量的图像分解策略，并通过边缘定位技术结合，给出了一种图像分解的统一框架，可以实现图像的边缘保留式分解、BEMD分解以及介于二者之间的分解策略，把多种分解方法实现了统一；开发了一种海上快速目标定位技术，可以实现海上目标的高速搜索及准确定位，并获得了国防发明专利授权。另外，针对广义测不准原理的数学问题及不等式进行了总结，并提出了下一步的研究方向等。通过本项目的研究进一步完善了信号稀疏表示的理论体系，同时提高了稀疏表示广义测不准原理理论的工程应用性。