时滞发展系统的分支与控制问题及其应用

半线性时滞发展方程解的存在性与正则性、稳定性、Hopf分支、可控性等是微分方程的基本研究课题，有着非常重要的理论和应用价值. .本申请项目拟以算子半群、预解算子和线性发展算子理论为主要工具系统研究这类方程解的存在性和稳定性、分支与控制问题，并深入探究它们在具有年龄结构的时滞种群模型上的应用. 力争在上述方面获得一些有重要价值的新结果．主要开展以下工作：.(1)利用解析半群、预解算子、分数幂算子理论研究半线性时滞发展方程局部与非局部Cauchy问题解的存在性、正则性及稳定性；(2)利用无界线性算子特征乘数及相空间相应特征分解分析其谱性质，对半线性时滞发展方程建立中心流形与Hopf分支定理；(3)通过对相关算子的谱分解与分析，研究自治与非自治时滞发展系统的可控性; (4)将所得理论结果用于几类含时滞边界条件的年龄结构种群动力系统，深入研究其解的存在性、稳定性、Hopf分支与逼近可控性问题．

本基金项目以算子半群、预解算子和线性发展算子理论为主要工具系统研究了时滞发展方程解的存在性、正则性和稳定性，以及分支与控制问题，并深入探究它们在具有年龄结构的时滞种群模型上的应用．主要研究工作和成果有：..1) 证明了具有非局部条件的泛函微分积分方程解的存在性和正则性，修正了相关文献的错误，也为这类系统的定性理论研究和控制理论研究奠定了基础；..2) 研究了非自治时滞发展方程非局部问题解的存在性与可控性，取得了原创性成果. 这里指出，由于非自治系统研究的困难性，这方面研究国内外还相当鲜见；..3) 利用Fourier乘子定理和Fourier 变换或Carleman变换技巧讨论了Banach空间一类具有无穷时滞二阶泛函发展方程周期解的存在唯一性、 最大正则性。其创新之处在于直接利用了Banach空间无穷时滞相空间讨论上述问题，避免了借助有限时滞方程的已有结果，使得所获得的结论具有相当的普遍性；..4) 通过利用Laplace变换建立了中立型系统和无穷时滞发展系统的基本解理论，该理论不仅成功应用于相应非线性系统的逼近可控性研究，克服了含无界项所带来的困难，获得了系统逼近可控的充分条件，还对这些系统的最优控制问题以及时滞随机发展系统的可控性与最优控制的研究开创了局面，成为研究这些课题的强有力工具；..5) 对二维时滞微分方程、神经网络系统和依赖年龄/规模结构种群系统的稳定性和Hopf分支等动力学行为开展了较为系统的研究，取得了稳定性、Hopf分支、Bautin分支和异步增长性方面的一系列重要成果。