扩散过程离散化形式下的若干统计问题的大偏差原理

Diffusion processes is one of the most important models in stochastic differential equations, which has wide application backgrounds, especially in mathematical finance. Statistical inference for diffusion processes has been an active research area during the last two or three decades. The research results are relatively mature based on the continuous-time observations, but in practical applications, data are essentially always recorded at discrete points in time only. Along with the idea of discretization of diffusion processes, this project mainly discusses the large deviations for some statistical problems of diffusion processes. (1) Based on the large deviation of local time, the large deviation of the kernel density estimator of the coefficient of a diffusion is established. (2) We want to develop some new methods to approximate maximum likelihood function, and obtain the large deviation of maximum likelihood estimator for the cases of different time interval. (3) We consider the nonrandom or random sampling schemes, and study the large deviation principle of the minimum contrast estimator of the unknown parameter for diffusion processes.

扩散过程是随机微分方程中最为重要的模型之一，有着广阔的应用背景，特别 是在金融数学领域。有关扩散过程的统计推断已经成为最近二三十年来一个活跃的研究领 域。基于连续时间观测值的研究成果相对比较成熟，但在实际应用中，所得到的观测值都是 在离散时间下进行抽样的。本项目拟沿着扩散过程离散化的思路，研究扩散过程若干统计大 偏差问题。具体内容包括：（1）通过研究扩散过程局部时的大偏差性质，得到扩散系数核密 度估计的大偏差原理；（2）发展新的似然函数逼近方法，研究在抽样时间间隔小（大）的情 形下，极大似然估计的大偏差原理；（3）在非随机抽样和随机抽样的情形下，研究扩散过程 未知参数的极小对比估计，得到其大偏差原理。

主要针对扩散过程等一些过程模型的统计估计的大样本理论，随机微分方程平均原理以及经典极限理论进行研究。在统计估计的大样本方面，研究了离散观测情形下过程统计的相关性质，包括核密度估计的大（中）偏差原理，极大似然估计的中篇原理，极小对比估计的渐近性质等；研究了针对次序统计量样本p分位数的大偏差原理，中偏差原理和Bahadur渐近有效性；研究了次序统计量比率的渐近性质；研究了相依随机变量极大似然估计的中偏差原理；研究了线性模型，Bootstrap方法等统计估计的大样本理论。在随机微分方程平均原理方面，研究了双时间指标跳扩散随机微分方程的平均原理；研究了由柱形Wiener过程和Poisson随机测度驱动的双时间指标随机微分方程的平均原理；在较弱的条件下，研究了双时间指标随机FitzHugh-Nagumo系统的平均原理的强收敛速度；研究矩形上关于Holder范数的分数Brownian Sheet增量的拟必然大偏差原理和极限点集；研究由圆柱形Wiener过程和Poisson跳过程驱动的具有不同时间指标(慢方程不是自发的，快方程是自发的) 的随机FitzHugh-Nagumo系统的平均原理；研究了具有非Lipschitz系数的双时间指标的随机微分方程的平均原理，得到了耦合系统在消失了快指标时的平均方程的存在性。在经典极限理论方面，研究了随机变量序列的指数偏差不等式和PAC-Bayesian不等式；研究了不同相依序列的完全收敛性；研究了随机变量阵列的Kolmogorov对数律；研究了m相依随机变量的中偏差原理，减弱了指数可积性条件；研究了Robbins-Monro迭代的中偏差原理和多维Kesten迭代的几乎处处收敛性和r-阶矩收敛。