矩阵值扩散及对应经验测度的大偏差原理

The particle system with logarithmic Coulomb interaction are closely connected with the Matrix model of statistical mechanics and in quantum field theory, but the external potential are usually not quadratic functions. This particle systems has been used in various areas in mathematics and physics, but the dynamics model, i.e. the generalized Dyson Brownian motion has not been intensive studied in probability theory and stochastic analysis. Since the generalized Dyson Brownian motion can be realized as the eigenvalues processes of some matrix valued diffusion process, this proposed project mainly studies the asymptotic behaviour of these valued diffusion process.By introduce the Unitary valued Brown motion, we can have the convergence of the Unitary valued diffusion process with general potential, then we want to give another method to prove the Unitary valued Brownian motion converge in distribution towards a free multiplicative Brownian motion; As we proved the Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem for the empirical measure processes associated with the Generalized Dyson Brownian motion, we want to prove the large deviations principle for the Generalized Dyson Brownian motion with reasonable condition on potential.

统计力学和量子场论中出现的矩阵模型与具有对数库仑交互作用的随机粒子系统有密切的联系，而这些模型中的外场位势函数一般不是二次函数，此随机粒子系统在数学和物理的各个领域和分支都有非常重要的作用，但其随机动力学模型，即广义Dyson Brown运动，在概率论和随机分析中没有被深入研究。由于广义Dyson布朗运动与矩阵值扩散之间有对应，本课题主要研究广义Dyson Brown运动对应的矩阵值扩散过程的收敛， 通过引入酉矩阵值布朗运动，得到带有一般位势的酉矩阵值过程的收敛性，希望给出酉矩阵空间上的布朗运动收敛到自由可乘布朗运动的新证明；在已经证明了广义Dyson 布朗运动经验测度过程的大数定律和中心极限定理的前提下，当外场位势满足适当条件时给出广义Dyson布朗运动经验测度过程的大偏差原理的动态结果。

近几十年来，大偏差原理（LDP）在统计和移动通信系统中重要的应用和深刻的联系。在移动通信系统中解码错误的概率和码相关矩阵最大和最小特征根大偏差有关。2003年Anne Fey等人研究了样本协方差矩阵最大特征值和最小特征值的大偏差原理。2008年，Anne Fey等人在CDMA系统中，用LDP比较不同解码技术的好坏。我们得到当每个元素独立同分布，E[x_ij]=0,Var(x_ij)=1，并且满足P(x_ij=-1)=P(x_ij=1)=1/2时，样本协方差矩阵的最大最小特征根满足中偏差原理；进一步，样本协方差矩阵为Wishart矩阵以及更一般的样本协方差矩阵时，也有最大最小特征根的中偏差原理，并研究其在CDMA系统中的应用，改进匹配滤波器解码。. 姜铁峰在2004年，对总体期望非零时，证明总体各分量的独立性检验可用其样本协方差矩阵的最大项L_n作为检验统计量，并且得到了L_n的渐近分布。李德利等人在2006年得到L_n的一些强的极限定理。我们主要研究总体期望非零时，该样本协方差矩阵最大项L_n的大偏差原理、中偏差原理及其相应的应用。