乘积空间上加权变指标Hardy空间及多线性算子有界性

The real-variable theory of function spaces and boundedness of operators are always one of the core contents of harmonic analysis, where variable Hardy spaces play a key role in the study for the endpoint estimate of boundedness of operators. Based on the pre-existing research work of the applicant in the real-variable theory of variable exponent function spaces and boundedness of operators, this project aims to obtain the real-variable theory of weighted variable exponent function spaces on product spaces, which including mixed variable exponent Hardy spaces、multi-parameter weighted Hardy spaces with variable exponents; and to develop the real-variable theory of localized weighted Hardy spaces with variable exponents by using inhomogeneous discrete Calderόn type identity and inhomogeneous orthogonal wavelets. As applications of these real-variable theories, we will study the boundedness of multi-linear operators on these spaces.

变指标函数空间的实变理论与算子有界性是近年来调和分析研究的热点内容之一, 而变指标Hardy空间又是在研究算子有界性的端点估计中起着关键作用. 本项目拟在申请人已有的变指标函数空间实变理论及算子有界性的研究工作基础上, 在乘积空间上进一步建立和发展加权变指标Hardy空间实变理论, 其中包括混合范数加权变指标Hardy空间实变理论、多参数加权变指标Hardy空间实变理论等. 而且，通过引进非齐次离散Calderόn型表示定理、非齐次正交小波基等工具, 发展局部变指标Hardy空间上相应的实变理论. 作为应用, 将上述的这些加权变指标函数空间实变理论应用于相关的单线性算子和多线性算子有界性的研究中. 该项目研究及其成果对于丰富变指标函数空间研究内涵, 推动变指标分析理论的应用具有重要意义.

Hardy空间实变理论在研究算子有界性和偏微分方程的应用上起着重要的作用。由于变指标函数空间理论在在电流变流体、图像恢复、非线性弹性力学以及非线性偏微分方程等数学与物理分支中起着重要的应用, 近二十年来变指标分析理论与应用一直是调和分析与应用调和分析研究的热点之一。本项目成功建立了与仿增长函数相关的加权变指标Hardy空间的实变理论以及其上的广义奇异积分算子的有界性；引进并研究了乘积空间上与球Banach函数空间相关的乘积Hardy空间的实变理论及其上的算子有界性准则，从而得到了乘积空间上一系列新的函数空间理论结果；发展了一套完整的局部变指标Hardy空间的实变理论，包含各种极大刻画、原子分解理论以及有限原子分解理论，进而考虑了其上的对偶理论以及局部分数次积分算子、非齐次奇异积分算子的有界性结果；进一步发展了一套变指标框架下与仿增长函数相关的离散的Littlewood-Paley-Stein理论，得到了新的变指标Meyer-Coifman型Hardy空间实变理论及其对偶空间理论；采用加权Littlewood-Paley-Stein理论给出了加权Hardy空间的一般的原子分解理论，并得到了相应的算子有界性结果；通过精炼的原子刻画，给出了多线性分数次算子、多线性奇积分算子及其极大算子在变指标Hardy空间乘积空间的有界性理论的直接证明；证明了一类广义分数次积分在加权与变指标Hardy空间上的有界性，得到了一类卷积型分数次积分的加权与变指标Carleson测度空间估计。本项目丰富了欧氏空间与齐型空间上的变指标Hardy空间上的实变理论并且建立了其上的算子有界性结果，丰富与发展了变指标框架下的调和分析。这些结果有望为调和分析与偏微分方程等上的问题研究提供新的工作空间与分析方法。