多联骨牌的组合性质

Combinatorics is a rapid-devolping branch of mathematics after the emergence of computer. It not only has an extremely important position in the mathematical research, but also plays an important role in other subjects.. We mainly investigate an important new combinatorial structure, polyominoes. We will study the properties of polyominoes in four ways: . (1)Euler-Mahonian statistics on rectangular polyominoes;. (2)the symmetry on moon polyominoes, trying to find a new approach of classifying the chains such that the joint symmetry distribution of positive and negative chains is independent of the shape of polyominoes and the charge functions; constructing a combinatorial proof showing that the equidistribution of maximal increasing and decreasing chains; . (3)the construction of multivariable associated functions on Ferrers polyominoes, especially those with four variables; . (4)positive and negative chains on charged layer polyominoes, focusing on revealing the restriction of the row connected and row intersection free of layer polyominoes to the charged functions.

组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一个数学分支，它不仅在数学理论研究中具有极其重要的地位，在其它学科中也发挥着重要的作用。本项目主要研究一类重要的新兴组合结构，多联骨牌。将从四个方面来展开对多联骨牌的研究：. (1)矩形多联骨牌的Euler-Mahonian统计量分布研究；. (2)月亮型多联骨牌的对称性研究，努力寻求一种新的分类方法，使得正、负链之间的联合对称分布性质不受多联骨牌的形状和充电函数的影响；构造最长上升链与最长下降链对称分布的组合证明；. (3)Ferrers型多联骨牌上多变量相关函数的构造，特别是四元相关函数的构造；. (4)层型多联骨牌的正、负链研究，重点考察层型多联骨牌“行连通”和“行自由相交”对充电函数的限制作用。

多联骨牌是一类非常重要的组合结构，它涵盖了多种组合对象，是代数组合学中的一个重要研究对象。本项目取得的主要进展有：(1)给出了集合划分上交叉与嵌套的一种新刻画，该刻画的一个亮点是引入参数k，并且使得交叉与嵌套的同分布的经典结论成为当k趋于无穷时的特例；(2)利用符号计算的方法研究集合划分格，给出了Bell数的一种新的计算方法以及用代数的方法去计算秩生成函数；(3)提出一种新的组合结构--powerful sets，它是二元拟阵的一种推广，建立了关于powerful sets的一些基本理论以及提出两个有趣的研究问题；(4)研究了两类重要的分拆函数的算术性质，得到多个Ramanujan类型的同余式。. 在项目执行期间，共正式发表期刊论文6篇，会议论文1篇，其中6篇期刊论文均被SCI检索。