组合序列的分析性质

The analytical properties of combiantorial sequence，including the log-concavity, the log-convexity and limiting distribution are important in combinatorics. It has been applied to algebra, mathematical analysis and topology. In recent years, tbe interdisciplinary reseaerch among the different branches in mathematics is a development trend. The main object of this project is to establish the relation between the analytical properties of continued functions and combinatorial sequences and use algebraic and analytical method to study the infinitely log-monotonic propety, the finite difference and the limiting distribution of combinatorial sequences. This project includes the following aspects: (1)similar with the theory of completely monotonic function, use analytical method to study the log-monotonic property of order k and the finite difference of partition function and other combinatorial sequences;(2) based on the bijections and algebraic structure of core partition, research its enueration, mean value and limiting distribution;(3) focus on the relation between the analytical properties of continued function and combinatorial sequence, hope to find more useful analytical properties of combinatorial sequences and the combinatorial properties of continued function。

组合序列的分析性质，包括对数凹性，对数凸性和渐近分布等是组合数学中重要的研究方向，而且在代数，分析，拓扑当中都有十分重要的应用。几年来，数学中各个学科的交叉研究受到了广泛的关注。本项目旨在建立连续函数的分析性质和组合序列之间的联系，利用分析和代数的方法，研究组合序列的无穷对数单调性，对数的有限差分性质以及渐近分布性质。 本项目包括：（1）类比于连续函数的完全单调函数的理论和研究，利用数学分析和渐近估计的方法，研究整数分拆数序列以及其他组合序列的高阶对数单调性和对数的有限差分的相关性质；（2）基于核分拆的组合双射和代数结构，研究这一重要组合对象的计数以及极限分布性质，包括其平均值和渐近分布等；（3）研究连续函数的分析性质和组合序列之间的联系，希望发现更多有用的组合序列的分析性质和连续函数的组合性质。

组合序列的分析性质，包括对数凹性，对数凸性和渐近分布等是组合数学中重要的研究方向，而且在代数，分析，拓扑当中都有十分重要的应用。几年来，数学中各个学科的交叉研究受到了广泛的关注。本项目旨在建立连续函数的分析性质和组合序列之间的联系，利用分析和代数的方法，研究组合序列的无穷对数单调性，对数的有限差分性质以及渐近分布性质，并利用组合构造的方法解决代数组合学中的一些问题。 本项目取得的成果包括：（1）类比于连续函数的完全单调函数的理论和研究，利用数学分析和渐近估计的方法，研究整数分拆数序列，overpartition序列以及其他组合序列的高阶对数单调性和对数的有限差分的相关性质，并证明了这个方向一些猜想；（2）基于核分拆的组合双射和代数结构，利用埃尔哈特理论，研究这一重要组合对象的计数以及极限分布性质，包括（a,b）自共轭核分拆的大小期望值，高阶矩以及核分拆的拐角的个数的分布等；（3）利用Hecke算法解决了联接划分的交叉和嵌套的对称分布猜想，得到了一大类对称群的抛物Kazhdan-Lusztig R-多项式的组合表达公式。