G-分数布朗运动与Hermite过程的分析及其相关问题

最近几年，G-期望框架下的随机分析与具有长程相依性的自相似随机过程已经变成了重要的研究题目，其原因是它们的重要性质和在各种科学领域的应用诸如经济学、金融学、水文学、电讯、流体力学、紊乱、影像处理等。在众多自相似随机过程中，具有有长程相依性的Hermite过程是一类结构比较简单并包含分数Brownian运动作为特例的过程，而在一般情况下它们既不是半鞅也不是马氏或Gaussian过程，但它们同分数Brownian运动具有完全相同的相依结构，其研究的难度远远超过分数布朗运动。.本项目主要研究在G-期望框架下的G-分数Brownian运动与Hermite过程的随机分析及其相关问题，我们的目标是建立G-分数Brownian运动的随机积分并讨论相关的Malliavin分析及其随机微分方程；研究Hermite过程的随机分析及其相关问题；最终在G-期望框架下建立G-Hermite过程及其相关的随机分析。

自相似过程在诸如计量经济、网络流量、通信、湍流、图像处理、金融、水文学等各种科学领域中有着实际的应用。Hermite过程是自相似过程的具有长记忆性的一类特例，它产生于所谓的非中心极限定理，著名的分数布朗运动、Rosenblatt过程均是它的特例，最简单的Hermite过程是分数布朗运动，而Rosenblatt过程是Hermite过程类中最简单的非高斯过程，在一般情况下，Hermite过程均不是Markov过程或半鞅，并且非高斯Hermite过程的研究比分数布朗运动困难的多。我们的动机也是理论上的，来自于最近越来越多的关于很一般随机过程的随机积分的研究，我们确信这个过程提供一个重要与有意义的例子，能作为最近建立的一般随机分析技巧的一个显著实验平台。另一方面，受各种不确定性与金融问题的激发，彭实戈院士建立起来了G-期望框架下的随机分析，该分析以其扎实的实际背景与丰富的研究内容，已经变成了重要的研究方向。存在大量未被研究的问题，诸如G-框架下随机变量的相依性以及G-布朗运动的各种积分泛函等等，这些激发我们研究G-期望框架下的随机分析的兴趣。.本项目主要研究了在G-期望框架下的Brownian运动的一些随机分析问题、Hermite过程的随机分析及其相关问题，我们建立了G-Brownian运动的二次变差与局部时的积分法，给出了G-布朗局部时的Hilbert变换与分数阶导数，建立了G-期望框架下指数鞅的Kazamaki法则，建立G-期望框架下的Bessel过程，研究了G-期望框架下随机变量的长（短）记忆性与弱收敛，基于此记忆性与弱收敛我们建立了G-期望框架下的的分数布朗运动并讨论一些相关问题，我们讨论了G-Brownian运动驱动的随机（泛函）微分方程与倒向随机微分方程等问题。建立了Hermite过程特别是Rosenblatt过程的逼近，建立了分数布朗运动及其相关过程的二次变差，研究了由分数布朗运动与Rosenblatt过程驱动的随机泛函（偏）微分方程与一些积分泛函等问题。