子流形和整体几何结构

Submanifold theory in manifolds with special global geometric structures is an important subject in differential geometry and mathematical physics. The project aims to employ integrable system method and Lie theoretical method to study the construction of minimal Lagrangian trinoids in the complex projective plane, the construction of elliptic affine trinoids in three dimensional affine space, which is closely related to the Strominger-Yau-Zaslow conjecture and Loftin-Yau-Zaslow's metric cone model. We will use the strategy to study the geometry and topology of Lagrangian submanifolds in some special Kaehaler manifolds, estimate of eigenvalues of the Laplacian of submanifolds in Kaehler manifolds, and characterizations of almost complex submanifolds in a nearly Kaehler manifold as well.

具有特殊整体几何结构的流形中的子流形一直是几何学和数学物理中的重要研究对象。本项目计划主要运用可积系统方法及李群李代数方法，研究凯勒流形或拟凯勒流形中的子流形。具体而言，我们计划研究与镜对称猜想相关的复射影平面中极小拉格朗日trinoids的构造、三维仿射空间中椭圆仿射trinoids的构造，以及凯勒流形中的拉格朗日子流形的几何和拓扑性质、凯勒流形的子流形的拉普拉斯算子第一特征值的估计和拟凯勒流形中近复子流形的刻画等相关问题。

具有特殊整体几何结构的流形中的子流形一直是几何学和数学物理中的重要研究对象。本项目运用可积系统方法，特别是loop群方法，以及李理论方法，得到了复射影平面中具有不同对称性的极小拉格朗日曲面的构造，以及Ruh-Vilms型定理, 并从可积系统角度引入复射影平面中拉格朗日环面集合上的一个能量泛函，并在一类哈密顿极小的拉格朗日环面集合中研究该能量泛函的最小值，支持了Montiel-Urbano提出的拉格朗日版本的Willmore猜想。本项目还得到了warped乘积空间, 特别是实空间形式中以超曲面主曲率的初等对称多项式的幂为速度函数的曲率流的闭严格凸自相似解的刻画。按照计划本项目还研究了凯勒流形或拟凯勒流形中的拉格朗日子流形和近复曲面的几何刻画与构造等相关问题。