Davey-Stewartson 型方程组的适定性和爆破性研究

Davey-Stewartson 型方程组源于水波、等离子体物理、非线性光学、以及海森堡铁磁旋链理论等领域，有重要的物理和数学性质。本项目重点研究它的爆破解的动力学性质，特别是具有临界质量的爆破解的爆破时间、爆破率、爆破解的质量集中现象、爆破解的精确结构特征（exact profiles）。其次是结合偏微分方程的理论与调和分析方法，诸如Bourgain 空间方法、Fourier 限制方法、I-方法、高低频分频技术、多线性估计等，研究方程组在低正则性空间的局部和整体适定性，确定正则性临界指标、非线性项临界次数。对耗散系统，我们证明在低正则性相空间中整体吸引子的存在性和光滑性。

整个研究计划基本上按照原计划进行, 并达到预期目的. 主要成果如下：..我们深入研究了Davey-Stewartson 型方程组（DS）、非线性Schrodinger 方程（NLS）, 以及许多其他典型的色散方程（广义Camassa-Holm型）、（磁）流体动力学方程组的适定性和不适定性, 部分问题获得临界正则性指标. 所使用的理论方法是变分方法, 调和分析等等, 完成一批较高质量的论文. 例如在J. Diff. Equations上发表的5篇（其中一篇刚被录用）, 有单篇论文被ISI-Web of Science列为“高被引”论文（JDE, 253（1）2012, 两年多来有20余次SCI他引）, 博士毕业生吴奕飞2012 年全国百篇优秀博士学位论文奖提名奖. 我们总共发表论文22 篇（其中20篇SCI收录, 1篇刚被JDE录用待发表）. ..一、关于Davey-Stewartson方程组（DS）.我们深入研究了二维和三维椭圆-椭圆方程组Davey-Stewartson方程组（DS）, 取得了重要进展. 我们得到了2D临界DS的临界质量爆破解的profile，3D次临界DS的爆破解. 这两个是令人欣慰的结果, 在学术会议上受到同行好评. 对一类三分量的椭圆—双曲DS方程组, 我们得到弱解的存在性和衰减性. 我们还研究了两类退化型DS方程组, 研究了方程组的守恒律、Varial恒等式, 证明了弱解的整体存在性, 解的爆破性和衰减性. 完成论文7篇. ..二、几类浅水波方程.我们还研究了几类浅水波方程, 涉及的方程包括广义Camassa-Holm方程, 高阶浅水波方程, 两个分量的Camassa-Holm方程, Novikov方程, 等等. 我们到了一系列适定性和不适定性的结果, 对部分问题获得了适定性的临界正则指标. .三、（磁）流体力学方程组.通过运用加权的Chemin-Lerner型空间、Littlewood-Paley理论及Besov范数的乘积估计, 仿积理论, 各向异性的Besov 空间性质和输运方程的基本性质, 我们研究了2维与密度有关的不可压缩Navier-Stokes 方程组, 经典不可压MHD方程组、非齐次不可压缩MHD方程组、Navier-Stokes-Landu-Lifshitz方程, 获得了一系列关于适定性和渐近性的结果.