具有相对论效应的Lagrange系统的整体变分方法

In this program we will study some fundamental and interesting problems in class A spacetimes by the method of globally variational method. More precisely, on class A tori， we will make Aubry-Mather theory more complete; we will study the properties of viscosity solutions to the associated Hamilton-Jacobi equations, and thus build a foundation for weak KAM theory for relativistic Lagrangians; we will study the properties of harmonic forms associated to the cohomology in the interior of the cohomological cone; we will also study some rigidity problems, such as systolic inequalities, Hopf conjecture etc.

本项目将通过整体变分方法，研究class A 时空中一些基本而有趣的问题。具体来讲，在class A 环面上，我们将完善Aubry-Mather理论；我们将研究相应的Hamilton-Jacobi方程的粘性解的性质，从而建立具有相对论效应的弱KAM理论；我们将研究位于上同调锥内的那些上同调对应的调和形式的性质；我们还将研究systolic不等式及Hopf猜测等刚性问题。

广义相对论的几何背景是Lorentz几何（时空），时间的演化由类时测地线刻画，故对时空的几何学及测地动力学的研究对理解相对论中事件的演化规律有重要意义。我们以此为研究核心，同时研究了其它相关问题。具体来讲：.1.我们研究了二维Lorentz环面的完整分类，每一类的拓扑结构及其上eikonal方程的整体粘性解的存在情况及弱KAM性质。.2.我们研究了二维class A Lorentz环面上stable stime separation的可微性和其动力学之间关系。.3.我们研究了由极点导致的Class A 的Lorentz环面的特殊的动力学和几何性质。.4.我们研究了闭Riemann流形上高维calibration和lamination的结构。.5.我们研究了Wasserstein空间上的distance-like函数及其梯度动力学，特别是弱KAM性质。.6.我们从数值计算角度研究了多目标广义Nash均衡问题。.7.我们研究了带未知函数u的弱耦合的Hamilton-Jacobi方程组的Cauchy问题的粘性解的变分表示。.8.我们研究了Wasserstein空间带鞅条件的测地线的性质，从几何的角度理解鞅最优输运。.9.我们用极小变分方法研究了Frenkel-Kontorova模型中的极小异宿构型。.这些结果对通过直接变分方法理解非正定系统及无穷维系统的几何和动力学有着重要意义。