变系数完全可压Navier-Stokes方程组小马赫数极限中一类反常现象的研究

The low Mach number limit problem for compressible Navier-Stokes systems is a fundamental and crucial issue in fluid mechanics. In addition to the convergence of the limit, some anomalous behaviors of solutions occurring in the limit are also getting more and more attention.. By studying the behaviors of solutions of the full compressible Navier-Stokes equations with variable coefficients and their zero Mach limit system and the corresponding low Mach limit, this project will show that when the Mach number is sufficiently small, the solutions of the compressible Navier-Stokes system have some anomalous behaviors similar to rarefied gas. Furthermore, we will analyze the stability of such anomalous behaviors by studying the large time behaviors of solutions and the steady-state systems.. Our research will clarify that the continuum medium describing by the compressible Navier-Stokes equations and the rarefied gas have some commonalities when the Mach number is small, which is of great theoretical and practical significance.

可压Navier-Stokes系统的小马赫数极限问题是流体力学中一个基本且关键的问题。除了极限的收敛性，在极限过程中，方程的解发生的一些反常行为也开始受到越来越多的关注。. 本项目将通过研究变系数完全可压Navier-Stokes系统和其零马赫极限系统解的性态以及相应的小马赫极限来说明当马赫数充分小时，可压Navier-Stokes系统的解具有类似稀薄气体的反常行为。进一步，我们将通过解的大时间行为和稳态系统的研究来分析这些行为的稳定性。. 我们的研究将说明：当马赫数很小的时候，可压Navier-Stokes系统描述的连续介质和稀薄气体是具有某些共性的，具有重要的理论和实际意义。

可压缩Navier-Stokes方程组是流体力学中的基本方程，其不可压极限是该方程组数学理论中的基本问题，也是偏微分方程理论的核心问题之一。已有的研究都是针对极限的收敛性，对极限过程中的有趣现象没有深入研究。本项目的主要研究目标为：1.证明马赫数充分小时，连续介质模型可压缩Navier-Stokes方程组也能描述“热蠕流动”等稀薄气体的反常现象。2找到可压缩 Navier-Stokes 方程组产生“热蠕流”的数学结构并阐明各种边界条件对该类现象的影响。3.证明类似“热蠕流”的现象在可压 Navier-Stokes 方程组的解中是不稳定的。本项目的研究目标1比较好的完成了，目标2部分完成了，目标3暂无结果。具体来说1. 我们对极限系统的非线性结构有更好的观察，建立了二维情形下大初始速度的整体强解和弱解的存在性，结果的特殊情况还改进了P.Lions专著中的结果(结果已发表于杂志Nonlinearity)。2.我们观察到极限系统能够产生反常现象，利用已建立的低马赫极限的理论，证明了当马赫数充分小时，可压Navier-Stokes方程组的局部解也能产生反常现象而且产生机制和初始值无关。3.此外，基于结果1 的研究中对BMO空间的一些理解，我们建立了不可压Euler,Navier-Stokes方程组和磁流体在端点空间L^2,\infty(BMO)空间中的能量守恒和正则性的结果(结果已发表于Discrete and Continuous Dynamical Systems等期刊)。