输运系数依赖于温度的可压缩Navier-Stokes方程组解的研究

The compressible Navier-Stokes equations describe the time evolution of the heat-conductive, viscous compressible fluids. Recently there are a lot of works on the mathematical theory of the compressible Navier-Stokes equations with density and temperature dependent transport coefficients and many excellent results have been obtained. Even so, for the case of temperature dependent viscosity and heat conductivity coefficients, fewer results are available up to now. The applicant and her collaborators have obtained a Nishida-Smoller type global solvability result for the Cauchy problem of one-dimensional compressible Navier-Stokes equations with temperature dependent transport coefficients and based on these former studies, our main goal in this project is concentrated on the construction of global solutions to compressible Navier-Stokes equations with temperature dependent transport coefficients and large initial data.

可压缩Navier-Stokes方程组描述了具有热传导效应的粘性理想可压缩流体的运动规律。近年来关于输运系数依赖于密度或温度的可压缩Navier-Stokes方程组数学理论的研究引起了国内外同行的关注并取得了一些很好的研究结果。虽然如此，对粘性系数和热传导系数依赖于温度的情形，相关的结果还很少。在这方面，申请人和合作者对输运系数依赖于温度的一维可压缩Navier-Stokes方程组的Cauchy问题得到了一个Nishida-Smoller型的大初值整体可解性结果，本项目我们拟在这些前期研究工作的基础上，主要围绕输运系数依赖于温度的可压缩Navier-Stokes方程组的大初值整体解的构造这一问题开展研究。

Navier-Stokes (纳维－斯托克斯)方程组是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程组，是目前为止尚未被完全解决的方程之一。关于可压缩Navier-Stokes方程组的大初值整体解的存在性和渐进稳定性一直是大家所关注的内容也是近年来大家研究的热点之一。本项目我们研究一维可压缩Navier-Stokes方程组在理想多方气体状态下当输运系数依赖于密度和温度时并且可以是密度和温度的退化函数时其整体光滑解的存在性和渐进稳定性。（1）重点得到了带有层粘性的可压缩Navier-Stokes方程组在输运系数满足不同的密度和温度表达式时其大初值整体光滑解的存在性。这里我们的方法主要是借助于理想多方气体方程的特殊结构以及能量估计来得到密度函数和温度函数的上下界估计，并且结合连续性技巧将局部解延拓成整体光滑解。(2)我们得到了初边值意义下一维可压缩Navier-Stokes方程组当输运系数依赖于密度和温度时，并且可以是密度和温度的退化函数时，在三类不同的边界条件下其大初值整体光滑解的存在性；以及在三类边值条件下，一维可压缩Navier-Stokes方程组，在热传导系数为密度和温度的光滑函数，粘性系数是正的常数时，其大初值整体光滑解的存在性。(3)我们得到当输运系数都是正的常数时，对于半空间上的一维可压缩Navier-Stokes方程组在满足理想多方气体状态时得到大出始扰动下其非退化静态解的大时间稳定性。这里我们的研究是基于非线性能量估计和巧妙的截断函数得到密度函数和温度函数与时间无关的一致的上下界估计。之后我们利用波的强度小来控制方程组的解在迭代过程中所造成的可能的增长，去掉了气体的“绝热指数充分靠近1”这一条件，利用连续性技巧得到了半空间上一维可压缩Navier-Stokes方程组大初值整体光滑解的稳定性。