简化Ericksen-Leslie系统和修正双分支Camassa-Holm系统整体解的研究

In this project, we consider two important evolution equations : a simplified Ericksen-Leslie system and a modified two-component Camassa-Holm system. For the simplified Ericksen-Leslie system,we mainly study the existence of global solutions and the regularity of solutions.To deal with this problems,we mainly use this methods:weak convergence method,Littlewood-Paley Theory,singular integral and commutators estimates.The combination of local energy inequality and weak convergence method is a novel attempt. For a modified two-component Camassa-Holm system,our main research are the local regularity and uniqueness of weak solutions.Our main methods investigating this problems involve classic analysis of symbol conditions and constructed metrics.Furthermore,we adopt a new method combined the lift of local regularity and weak-strong uniqueness.

本项目研究两类重要的发展方程:简化的Ericksen-Leslie系统和修正双分支Camassa-Holm系统。对于简化的Ericksen-Leslie 系统，我们主要研究其整体解的存在性和解的正则性。所用的方法主要有弱收敛方法，Littlewood-Paley 理论，奇异积分及交换子估计。结合局部能量不等式和弱收敛方法对该系统研究是一种新的尝试。 对于修正双分支Camassa-Holm系统，我们主要研究其整体弱解的局部正则性和唯一性。对于这些问题的研究我们所用的方法包括传统的加符号条件分析和构造度量方法以及我们采用的局部正则性提升结合弱强唯一性思想的新方法。

液晶的运动主要由宏观的速度和分子的微观定向来描述，该运动方程反应了宏观和微观的联系和相互作用。液晶模型是复杂流体中比较有代表性的方程组。从数学结构来看该方程组是Navier-Stokes方程组和调和映照热流的耦合，对该方程的研究有助于理解几何上具有重大意义的模型。当振幅相对于波长很小的情况下，水波的流动都可以用浅水波模型来描述。由于水流的复杂性，在过去的200年尽管浅水波理论有极大的进展，然而浅水波理论的研究还是非线性分析中的一个热点问题。本项目主要想研究简化液晶模型弱解的整体存在性和奇异点的的性质以及修正双分支Cammassa-Holm方程组解的整体存在性和正则性，以及与这些方程密切相关的模型和物理现象。. 我们的结果主要和液晶模型的研究密切相关。虽然液晶模型的弱解整体存在性已经被其他作者研究解决，但是该方程的弱解有奇异性。我们主要对该简化方程的奇异点做了数量上的估计。我们还研究了最近比较引人注目的Ghost effect 系统。该系统和液晶方程组具有很类似的非线性结构，而且有自己独特的特征。对该系统的研究有助于我们对液晶系统的理解，并且能够对一些反常的物理现象如“热蠕现象”(该现象不能由经典的流体方程Navier-Stokes方程和Euler方程描述)在数学上给予严格的证明。我们通过对该系统的研究首次证明了“热蠕现象”（流体从低温处流向高温处的反常现象）是由边界效应和温度的梯度驱动的。证明了二维情形下，具有大震荡初始温度的整体强解的存在性，建立了三维Ghost effect 系统的爆破准则，证明了一维和球对称整体经典解得存在性。这些结果对Ghost effect系统的研究都具有重要的意义。