具有一般输运系数的可压缩Navier-Stokes型的方程组解的性态分析

This project is concerned with the Cauchy problem and initial-boundary value problem of the compressible Navier-Stokes type equations with the viscosity and conductivity coefficients depending on the density and the temperature. The problems under consideration are: Global existence and uniqueness of the solutions to the one-dimensional compressible Navier-Stokes equations with the large initial data and transport coefficients depending on the density and/or the temperature; Global existence, uniqueness and large time behavior of the solutions to the multi-dimensional compressible Navier-Stokes equations with the initial data that are of small energy; Global existence, uniqueness and large time behavior of the solutions to the related model of Navier-Stokes equations (such as Korteweg model) with the discontinuous initial data or the large initial data. Our study will strive to resolve some important mathematical problems of the compressible Navier-Stokes type equations that the peers are concerned with.

本项目研究一类粘性系数与热传导系数依赖于密度和温度的可压缩Navier-Stokes型方程组的Cauchy问题和初边值问题。具体研究内容包括：输运系数依赖于密度和（或）温度的一维可压缩Navier-Stokes方程组大初值整体解的存在性和唯一性；粘性系数依赖于密度的高维可压缩Navier-Stokes方程组在初值满足小能量条件下整体解的存在性、唯一性和大时间行为；一维Navier-Stokes方程相关模型（如Korteweg模型）在不连续初值或大初值条件下整体解的存在性、唯一性和大时间行为。本项目的研究力争能对可压缩Navier-Stokes型方程组数学理论中同行关心的一些重要问题有所突破。

流体力学中的偏微分方程，如欧拉方程、Navier-Stokes方程等是一类非常重要的非线性偏微分方程，这一类方程的数学理论研究是非线性科学研究的热点之一。 .本项目针对具有一般输运系数的可压Navier-Stokes型的方程组，着重围绕一维模型、高维模型在大初值或一般初值条件下的整体解的存在性、唯一性和大时间行为等问题展开研究。针对该研究内容，我们得到以下重要结果：研究一维空间中具有输运系数依赖于密度和/或温度并退化的可压Navier-Stokes方程组初边值问题，得到大初值条件下非真空整体解的存在性和唯一性；研究一维空间中具有一般输运系数的可压Navier-Stokes方程组外压力问题，考虑能量函数、压强函数及输运系数更为一般的情形，得到初边值问题在大初值条件下非真空解的存在性和唯一性；研究高维空间中可压的带阻尼的欧拉方程组解的最佳衰减估计结果；不可压液晶流古典解的LPS准则；半空间中可压的磁流体力学方程组整体解的存在性、唯一性和大时间行为等结果。.通过对上述问题的深入研究所得到的理论、方法和技巧，将丰富和发展偏微分方程理论，并对Navier-Stokes方程组及相关模型的研究起促进作用，因此本项目研究具有重要的理论意义。