可压Navier-Stokes方程及相关问题解的适定性与小马赫数极限研究

This project is mainly to study the nonlinear coupling system which is founded by compressible Navier-Stokes equations and obvious physical background, such as magnetohydrodynamics system, liquid crystal hydrodynamics system, etc. These systems have important physical meanings and useful values, and have rich physical phenomanas and mathematical challenges, so these systems is in view of physicians and mathematicians. This project mainly apply the skills of real analysis, combine theory of function spaces, use the methods of campactness and regularization to study the following three problems: firstly, the global existence and uniqueness and the low Mach number limit of strong solutions to multi-dimensional compressible Navier-Stokes equations and magnetohydrodynamic equations in a bounded domain; secondly, the local well-posedness with large initial data and global well-posedness with small initial data and low Mach number limit of strong solution to compressible liquid crystal hydrodynamic equations; thirdly, existence, regularity and low Mach number limit of strong solutions to multi-dimensional steady Navier-Stokes equations with large force. Hope to increase the mathematical understanding to compressible hydrodynamics through the implementation of this project.

本项目主要研究以可压缩 Navier-Stokes方程为子系统的具有鲜明物理背景的非线性耦合系统，如磁流体动力学系统、液晶流体力学系统等。这些系统都有重要的物理意义和应用价值，具有丰富的物理现象和数学挑战性，受到物理学家和数学家的广泛关注。本课题主要采用实分析技巧，结合函数空间理论，利用紧致法、正则化等方法，拟研究(1)高维可压缩Navier-Stokes方程、磁流体动力学方程在有界区域内强解的整体存在唯一性及其小马赫数极限；(2)高维可压缩液晶流体力学方程大初值强解的局部适定性和小初值强解的整体适定性以及小马赫数极限；(3)高维稳态Navier-Stokes方程大外力强解的存在性、正则性以及小马赫数极限。希望通过本项目的实施，增加对可压缩流体力学的数学理解。

本课题主要采用实分析技巧, 结合函数空间理论, 利用线性化, 正则化, 紧致收敛, 不动点定理等方法, 研究可压缩流体方程的解的存在性, 唯一性和小马赫数极限等问题. 全文共分为五章..第一章研究了在三维有界光滑区域上的完全可压缩纳维尔-斯托克斯方程, 证明了当速度和温度分别满足滑移边界和纽曼边界条件时, 在常状态附近光滑解的整体存在唯一性. 而且证明了在好始值的假设下所得到的解在整体时间上的小马赫数极限. .第二章考虑了可压缩纳维尔-斯托克斯-泊松方程在粘性依赖于密度, 压力为非单调情形下, 基于Faedo-Galerkin方法和紧性讨论, 严格证明了当物理常数当$\lambda=-1$、$\frac{4}{3}<\gamma<3$时或当$\lambda=1$、$1<\gamma<3$时, 方程在给定大的初值条件下弱解的整体存在性. .第三章研究了二维有界区域内可压缩液晶流体动力学方程中简化的埃里克松-莱斯利模型光滑解当马赫数趋于零时的渐近行为. 这个发展系统包括了可压缩纳维尔-斯托克斯方程和平均分子方向场的传输热流. 假设系统中速度带有纳维尔滑移边界条件,平均分子方向场带有纽曼边界条件. 通过推导出带有一定衰减性质的不等式验证得到整体解的小马赫数极限..第四章考虑了二维有界区域内粘性依赖于密度的可压缩磁流体动力学方程. 在完美传导边界条件的假设下, 通过对依赖于密度的粘性项的精确估计, 得到了关于时间和马赫数的一致先验估计, 证明了靠近平衡态附近光滑解的整体存在唯一性以及解的小马赫数极限..第五章研究了有界区域上带有大外力的可压热传导流体的稳态纳维尔-斯托克斯方程当马赫数适当小时, 二、三维无滑移边界条件下强解的存在性. 与此同时, 小马赫数极限也被严格验证. 证明的基本思想是将方程分成两部分, 一部分类似于带有大外力的稳态不可压方程, 另一部分类似于带有小外力的稳态可压热传导纳维尔-斯托克斯方程. 通过分别处理这两个部分, 建立马赫数的一致先验估计, 利用稳态不可压纳维尔-斯托克斯方程的已有结果等技巧得到强解的存在性.