模李超代数和Hom-型代数的表示与分类

It is one of the important fundamental topics in Lie theory to study representations and classifications of modular Lie superalgebras and Hom-type algebras, and results of this project are important to the study of many subjects such as Hom-Yang-Baxter equation, quantum group, conformal field theory, cohomology theory and algebraic representation theory etc. Modular Lie superalgebras (i.e., Lie superalgebras over a field of prime characteristic) were initiated in the 1990s. Even though many results of modular Lie superalgebras have been obtained, the complete classification of the finite-dimensional simple modular Lie superalgebras remains to be an open problem and its representation theory is not perfect. In twenty-first century, people began to study the Hom-type algebra. Hom-type algebra is a kind of algebras whose some identities are twisted by a linear map (called the twisting map), which can be viewed as a larger class and some deformations of the algebras. This project studies representations and classifications of Cartan-type simple modular Lie superalgebras, restricted simple Lie superalgebras and finite-dimensional simple modular Lie superalgebras, finds some new simple modular Lie superalgebras and provides new methods and examples for the classification of simple modular Lie superalgebras. Moreover, we study the representation and classification of Hom-Lie triple systems and Hom-left symmetric algebras, which are closely related to Hom-Yang-Baxter equation, apply these results to obtain new solutions of Hom-Yang-Baxter equation.

研究模李超代数和Hom-型代数的表示与分类，是李理论重要的基础性工作之一，其结果对Hom-Yang-Baxter方程、量子群、共形场论、同调理论、代数表示论等有重要的理论意义。模李超代数(即素特征域上的李超代数)的研究始于20世纪90年代，虽然已有较多研究成果，但有限维单模李超代数的分类尚未完成，并且它的表示也不完善。Hom-型代数的研究始于21世纪，它是将定义代数的等式通过一个线性映射(称为扭曲映射)进行扭曲得到一类更广的代数，本质上是该代数的某种形变。本课题将研究Cartan型单模李超代数、限制单李超代数、有限维单模李超代数的表示与分类，构造新的单模李超代数，从而为单模李超代数的分类提供新方法与例子。同时，还将研究与Hom-Yang-Baxter方程密切相关的Hom-李三系和Hom-左对称代数的表示与分类，应用研究成果将获得Hom-Yang-Baxter方程的新解。

模李超代数的研究始于上世纪90年代，有限维单模李超代数的分类尚未完成，且它的结构和表示也不完善。本项目给出了哈密顿李超代数上限制单模的特征标公式,限制李超代数的限制同调,以及模李超代数Γ中正则环面的重要性质；研究了四类限制Cartan型李代数和三类李超代数的（双）导子理论， Cartan型李超代数的局部导子理论，以及李共形超代数的广义导子理论；研究了sympathetic-李超代数的理想与分解，omega-李超代数的自同构群与分类；给出了仿射Kac-Moody代数的新表示和模结构。. . Hom-型代数的研究始于2005年，是将定义代数的等式通过线性映射扭曲得到更广的代数，本质上是该代数的某种形变。本项目研究了(Bi)Hom-李超代数、Hom-李color代数和Bihom-Novikov超代数的上同调、表示、导子、形变和扩张；得到了Bihom-李超代数的完备性的判定方法，以及Hom-若当代数的可解性与(半)单性的判定条件和分类定理，同时刻画了分裂正则Hom-莱布尼兹代数的单性；研究了Hom-李超代数的积结构和复结构。这部分已经出版专著《Hom-李型代数》（科学出版社，2022.3）。. . 同时研究了(扭)Schrödinger-Virasoro李代数和超W-代数的post-李代数结构，给出了权为1的Rota-Baxter算子和经典Yang-Baxter方程的解；利用李超代数的性质，生成超孤子族并构造超哈密顿结构；给出仿射李超代数的Cartan矩阵及生成元关系，得到超AKNS族及守恒律。. . 总之，本项目在李超代数和Hom-型代数的结构、表示与分类方面获得丰富而深入的结果，严格执行计划，并完成各项任务。项目的研究方法与结果将在李代数、量子群、共形场论、同调理论、表示理论、Yang-Baxter方程等领域有重要的理论应用。