模李超代数及相关代数的结构与分类

模李代数与特征零李超代数都有了较完整的结构、表示和分类理论，但是模李超代数（即素特征域上的李超代数）的研究仍处于前期的发展阶段。由于模李超代数在量子理论与数学其它分支中有着重要的应用，所以模李超代数的结构和分类就成为李理论研究中的重要问题之一。本课题研究模李超代数及相关代数的结构与分类理论，主要研究Cartan型模李超代数和限制李超代数的结构、分类，以及与模李超代数密切相关的李超三系的结构、超Virasoro代数的结构与范畴化。本项目研究内容与数学、物理学的许多分支密切相关，研究对同调、代数表示论、非交换代数、共形场论与统计力学等诸多领域的研究与发展有重要的意义。

研究模李超代数及相关代数的结构与分类，是李理论重要的基础性工作之一，其结果对量子群、辫子群、共形场论、同调理论、代数表示论、Yang-Baxter方程、Nambu力学系统等有重要的理论意义。本课题不仅研究Cartan型模李超代数和限制李超代数的结构与分类，而且研究与模李超代数相关的李超三系的结构和super-Virasoro代数的范畴化。. 第一，由于单模李超代数的极大子代数的研究对于了解单模李超代数的结构和分类工作大有裨益，所以我们刻画了单可迁不可约阶化模李超代数的极大阶化子代数，利用微分根反射方法确定限制Kac模的不可约性，进而仿照李代数的复形实现非典型权单模。相关结果发表在《J. Algebra》、《Transform. Groups》、《Monatsh. Math.》、《J. Algebra Appl.》等。. 第二，我们研究两类有限维模李超代数W(n,m)和H(n,m)的自然滤过。通过对这两类超代数的ad-幂零元的研究,证明了它们的自然滤过在其各自的自同构作用下是不变的，并且利用这个不变性又刻画出了此两类李超代数的一个重要的特征。我们研究接触李超代数的偶部和广义Witt李超代数，得到了它们的简约定理。同时，我们发现两类单模李超代数，并研究它们的重要性质。相关结果发表在刊物《Pac. J. Math》 、《J. Pure Appl. Algebra》等杂志。. 第三，我们证明了对于有限维李代数的Cartan分解的局部有限的单模是最高权模且奇异的Whittaker模，也证明了Hom-拟Hopf代数的表示范畴是一个张量范畴，利用Baez的方法给出了Hom-拟Hopf代数的范畴实现，证明了任意的Hom-拟Hopf代数都可以看做一个2-范畴。相关结果发表在《J. Pure Appl. Algebra》等杂志。最后，我们研究了李超代数、李三系、李-Yamaguti代数等代数的Hom-型结构、表示、上同调、形变，其结果发表在 《J. Math Phys.》、《J. Geom. Phys.》、《Commun. Algebra》等杂志。作为李超代数的应用，研究了孤立子方程和可积系统，所得结果发表在《J. Math Phys.》、《Appl. Math. Comput.》。