李超代数和Hom-李代数的结构和表示方面的若干问题

本项目主要研究几类无限维单李超代数和Hom-李代数的结构与表示以及量子化问题。具体如下:(1)研究与Virasoro代数相关的无限维单李超代数(包括W-超代数、Block-型超代数、N=2超共形代数、Loop-Virasoro超代数等)的上同调群和不可约表示。同时，对它们的广义情况进行相应的讨论；(2)研究这些无限维李超代数的超双代数结构及其量子化。(3)研究Hom-李代数的性质，通过Hom-李代数来研究量子群。本项目研究内容与数学、物理学的许多分支密切相关，预期结果对诸如顶点代数、共形场论、Hopf超代数理论、Hom-李代数理论及无限维李理论的研究与发展都有重要意义。

本项目按照预期研究计划开展研究，主要研究了几类与N=2超共形代数相关的无限维单李(超)代数(包括Virasoro代数及其超代数)的结构和表示。共发表论文5篇，其中4篇SCI检索。项目基本完成了预定目标。. 通过特征零域的加法子群，我们得到一些重要的无限维李超代数的广义化。我们研究了这些广义李超代数的导子代数和自同构群，给出了它们的结构。同时，研究了广义Ramond N=2超共形代数的超双代数结构，得到了三角上边缘李超双代数结构。我们从Virasoro代数的量子化问题出发，研究了超Virasoro代数的Drinfeld twist量子化问题，给出一大类非交换非余交换的Hopf超代数结构和一些组合恒等式。我们还引入和研究了Mobius扭张量积非局部顶点代数的扭张量积模。并且研究了一类有限维李代数的上同调群。这些结果有助于进一步研究它们的表示和量子化等问题，同时对数学和物理中顶点代数、共形场论、Hopf(超)代数理论及无限维李理论的研究与发展都有重要意义。