平坦环面上平均场方程和相关问题的研究

In this project, we will study the mean field equations on flat tori, which arise from statistic physics and conformal geometry. Such equations are singular Liouville equations with exponential nonlinearities and Dirac source terms, and are closely related to the modular form theory of the number theory. We are mainly concerned with three problems: 1) the deep connection between the solvability of the mean field equation and the geometry of the flat torus, 2) the existence and non-existence of solutions of the mean field equation on rectangular tori and rhombus tori, 3) the zero distribution of special modular forms by applying these PDE results of the mean field equation. The modular form is one of the most important topic in the number theory. This project is a cross-subject in the multiple fields of elliptic PDEs and modular forms, which lies in the frontier of the modern mathematical researches. Therefore, our study of this project will have great theoretical significance in mathematics.

本项目计划研究来源于统计物理和共形几何中的定义在平坦环面上的平均场方程，它是带有指数型非线性项和Dirac源项的奇异Liouville方程，与数论中的模形式理论密切相关。本项目拟研究以下三个方面的问题：1）研究平均场方程解的存在性与平坦环面的几何性质的关系，2）对矩形环面和菱形环面，研究平均场方程解的存在性和不存在性，3）运用这些平均场方程的结果来研究某类特殊的模形式的零点分布。模形式是数论中的核心课题之一。该项目是把偏微分方程和模形式这两个不同领域结合在一起的交叉性课题，是现代数学的前沿热点课题，具有十分重要的数学理论价值。

本项目主要研究了来源于统计物理和共形几何中的定义在平坦环面上的平均场方程，属于椭圆偏微分方程领域的前沿热门课题，与数论中的模形式理论、可积系统的KdV理论密切相关。围绕这类问题，本项目发表了12篇SCI论文，部分代表性成果如下：(1)用可积系统的KdV理论彻底解决了平均场方程在矩形环面上的可解性问题，该成果发表在《American Journal of Mathematics》上。(2) 运用这些平均场方程的结果研究了古典Eisenstein级数E_2的临界点分布，并证明在莫比乌斯变换下临界点稠密地分布在三条光滑的曲线上，该成果发表在《Journal of Differential Geometry》上。(3) 研究了与平均方程有关的Lame算子的谱问题并给出了不同谱线相交于端点的详细刻画，该成果发表在《Communications in Mathematical Physics》上。古典Eisenstein级数和Lame算子分别是数论和可积系统中的重要课题，该项目把这些属于椭圆偏微分方程、数论、可积系统的不同课题结合在一起，属于前沿交叉性课题，取得的成果具有十分重要的数学理论价值。