一维平均曲率方程定性问题研究

Mean curvature equations arise in geometry and physics，but also in fluid mechanics,capillarity theory, flux limited diffusion phenomena and micro-electr-.omechanical systems. The project plan to study qualitative property of one dimensional mean curvature equation systematically, include.1）using non-smooth critical point theory and variational inequality theory, we consider the periodic solution of forced relativistic pendulum equations;.2) combing with analysis technique, time map and global bifurcation theory, we consider the number of exact solutions, boundary blowup solution, regularity and asymptotic behavior of the one dimensional mean curvature equation, where the right nonlinearity is the typical functions;.3) applying non-smooth critical point theory, variational inequalities, Leray-Schauder degree, lower and upper solutions and energy estimate, we comparative study the classical and non-classical solutions of the micro-electro mechanical systems, and obtain the existence and multiplicity of positive solution, blowup solutions, ground state solutions, and the regularity of solutions..We believe that a complete description for one-dimensional mean curvature equations can not only improve and enrich the research of one-dimensional case, but also be helpful to explore more complicated high-dimensional problems.

平均曲率方程来源于几何和物理，在流体力学、毛细作用理论、限流扩散现象、微机电系统中都有广泛的应用。本项目关注于一维平均曲率方程的定性性质，包括：.1）利用非光滑临界点理论、变分不等式理论等，讨论曲率摆方程周期解的存在性问题；.2) 利用分析方法、时间映射、比较原理结合整体分歧思想等研究一维平均曲率方程典型问题的精确解的个数、边界爆破解及正则性、渐近性等；.3) 利用非光滑临界点理论、变分不等式理论，Leray-Schauder度理论、上下解方法、能量估计等，对比研究微机电系统模型的古典解与非古典解，获得正解、爆破解、基态解的存在性结果，并讨论解的正则性。.通过对一维平均曲率方程完整、细致的研究，一方面完善并丰富一维平均曲率方程的研究成果；另一方面，为更复杂的高维情形的研究提供借鉴和帮助。

平均曲率方程来源于几何和物理，在流体力学、毛细作用理论、限流扩散现象、微机电系统中都有广泛的应用。我们针对平均曲率方程的径向解以及一维平均曲率方程的定性性质进行了较系统的研究。.首先，我们研究了右端非线性项显含一阶导数的平均曲率方程。利用混合单调迭代技巧，获得了环域及球形域下该问题径向解的存在性与唯一性结果。.其次，我们利用锥拉伸与锥压缩不动点定理等研究了一维平均曲率方程及其特征值问题一个、两个及三个正解的存在性结果。.最后，我们还研究了平均曲率方程及其特征值问题径向解的多重性结果。利用Legget-Willams不动点定理等，获得了该问题三个及2n-1个正径向解的存在性结果。