高效能间断有限元方法若干问题研究

Finite element method is one of most important numerical methods in the field of modern science and engineering computations, while the discontinuous finite element method is an innovation, improvement and development of the traditional( continuous) finite element method. At present, discontinuous finite element methods have been widely used in solving a variety of partial diffirential equations. But, as compared to the continuous finite element method, the numerical theory of discontinuous finite element method is not mature yet, some hot and difficult problems remain to be solved. This project will study the high-effect(high accuracy and high efficiency) discontinuous finite element methods for solving the elliptic and first order hyperbolic problems. Our emphasis is on the structure and analysis of the local explicit, sime-explicit and dimension reduction discontinuous finite element methods for solving high-dimension elliptic problems and first order hyperbolic systems; Further we put emphasis on the postprocessing techniques with high accuracy for the discrete solutions, and the new a posteriori error analysis method and adaptive computing, and so on. The aim is to construct some new and high-effect discontinuous finite element methods, give systematic theory analysis, estiblish some effective a posteriori error estimates and adaptive algorithms, and work out applicable algorithm procedure. Through this project, we will renew and develop the numerical theory of discontinuous finite element method, estiblish some high accuracy and high efficiency discontinuous finite element methods. Our research will provide effective and reliable numerical means and theoretical supporting for solving the actual problems arising in science and engineering.

有限元方法是现代科学与工程计算领域中最重要的数值方法之一，间断有限元方法则是传统（连续）有限元方法的创新形式，改进和发展。目前，间断有限元方法已经广泛应用于求解各类偏微分方程定解问题，但相对于连续有限元方法，其数值理论还不成熟，一些难点和热点问题有待解决。本项目将研究数值求解椭圆问题和一阶双曲方程组的高效能(即高精度、高效率)间断有限元方法。主要研究高维椭圆问题和一阶双曲方程组的具有局部显式和半显式结构，或者可降维的间断有限元方法的构造和理论分析；间断有限元解的高精度的后处理技术；新型的后验误差分析方法和自适应计算等。目标是构造出新型、高效的间断有限元方法，给出系统的理论分析，建立有效的后验误差估计和自适应算法，并编制出数值算法应用程序。本项目研究将有所创新和发展间断有限元数值理论，建立若干高精度和高效率的间断有限元方法，为解决科学与工程实际问题提供可靠和有效的数值计算手段和理论分析支撑。

在科学与工程计算领域中，许多问题都归结为偏微分方程数值求解，有限元方法是求解偏微分方程的主流数值方法之一，间断有限元方法则是传统(连续)有限元方法的创新形式、改进和发展。本项目研究数值求解椭圆方程和一阶双曲方程组的高效能(即高精度、高效率)间断有限元方法。目标是构造出新型、高效的间断有限元格式，给出系统的理论分析，建立有效的后验误差估计和自适应算法。本项目研究成果为解决相关的科学与工程实际问题提供了有效和可靠的数值计算手段和理论分析支撑。本项目取得的主要研究成果如下。1 对变系数一阶双曲方程，得到了最优阶的误差估计，导出间断有限元解的有效和可靠的后验误差估计。针对正对称一阶双曲方程组，构造了具有半显式结构的时空间断有限元格式，提高了计算精度和效率。对k次间断有限元解得到了后处理解的2k+1阶超收敛估计。2 对第二类椭圆变分不等式，给出了间断有限元方法的最优误差估计和后验误差估计。对于椭圆边值问题的双线性间断有限元方法，建立了插值基本估计，提出了导数小片插值恢复技术，得到梯度近似的超收敛估计，并导出渐近准确的后验误差估计。3 对于椭圆边值问题的双线性矩形和四边形有限体积元方法，建立了插值基本估计，提出导数小片插值恢复技术，得到梯度近似的超收敛估计，并导出渐近准确的后验误差估计。对于线性和双线性有限体积元方法，证明了网格节点是插值逼近的最优应力佳点，并得到了在网格节点处梯度逼近的最大模超收敛估计。4 首次提出了一维椭圆问题的弱有限元方法，给出了弱有限元方法的定义和格式的构造，导出最优误差估计和网格节点处超收敛估计。对二维椭圆边值问题的弱有限元方法，建立了后验误差估计技术，导出了有效和可靠的后验误差估计。建立了稳定的求解Stokes问题的弱有限元格式并导出最优速度和压力误差估计。首次将弱有限元方法应用到非线性问题：Navier-Stokes问题，证明了弱有限元解的唯一存在性、稳定性和最优误差估计。5 建立了一些有效的求解离散非线性方程的多点迭代法，给出了计算效率和收敛性分析。