一阶双曲问题间断有限元方法的后验误差分析与自适应计算

一阶双曲问题来源于十分广泛的物理和工程实际。例如，气象学、海洋学、空气动力学、油田勘探、多孔介质中输运问题，电磁学等。一阶双曲问题数值理论和方法的研究一直是偏微分方程数值方法领域中的重点和难点问题。普通的有限元方法不适合处理一阶双曲问题的非光滑解，并可能产生非物理振荡现象。本项目将研究一阶双曲问题的间断有限元方法，着重研究求解一阶线性双曲方程（组）和非线性守恒律问题间断有限元方法的构造，超收敛性质，后验误差分析和自适应计算等问题。自适应计算是现代科学计算的主要手段，而后验误差分析则是自适应计算的理论基础。本项目力争构造出新型和高效的间断有限元格式，建立系统的后验误差分析理论，进行数值实验检验并编制算法应用软件。本项目研究将创建和发展间断有限元方法与一阶双曲问题的数值理论，使国内在这一领域中的研究水平进入国际先进行列，为解决科学和工程计算实际问题提供强有力的数值手段和理论分析指导。

一阶双曲问题来源于广泛的科学与工程实际问题, 间断有限元方法是求解一阶双曲问题的主流数值方法之一。超收敛与后验误差估计是一阶双曲问题间断有限元方法研究中的热点和难点问题。熟知，如果通过后处理方法获得数值解的超收敛性，就可导出渐近准确的后验误差估计；而后验误差估计则是自适应计算的基础。本项目主要研究了间断有限元方法的构造、超收敛性质和后验误差分析。此外，我们也研究了椭圆问题的有限体积元方法，重点放在梯度近似的超收敛性质。本项目的主要成果如下。1、构造了一阶双曲方程的迎风－惩罚格式，导出了最优和超收敛的误差估计；通过负模估计和导数恢复技术，建立了均值逼近和对流方向导数逼近的超收敛估计，进而得到渐进准确的后验误差估计；提出了新的后验误差分析方法并建立基于误差余量的后验误差估计。2、对于一阶正对称双曲方程组，构造出具有半显示结构的拟迎风间断有限元方法，导出了最优误差估计；提出了卷积积分和导数小片插值两种后处理技术，得到了超收敛和强超收敛估计并建立了相应的后验误差估计。3、对于椭圆问题的有限体积元方法，给出了节点梯度的超收敛性质和超收敛的梯度恢复公式，并得到相应的后验误差估计。上述研究工作为求解一阶双曲问题的间断有限元方法和求解椭圆问题的有限体积元方法提供了新的数值理论，一些研究方法和结果是创新的，具有重要的学术价值，研究水平进入了国外同类研究的先进行列。