Hilbert C*-模算子代数上的Lie导子及相关问题

The study of linear mappings on operator algebras is an important branch of the field of operator algebra. Linear mappings, such as derivations, homomorphisms and Lie derivations, have an important position in both theoretical and practical applications. Hilbert C*- module theory plays an important role in the theory of operator algebras. It can be applied in many aspects, such as non-commutative geometry, K- theory, and index theory of elliptic operators. Therefore, the algebra of operators on Hilbert C*-modules is an important class of operator algebras. In this project, we consider Lie derivations and related problems on the algebra of operators on Hilbert C*-modules.

关于算子代数上的线性映射的研究是算子代数领域的一个重要分支。导子、同态、Lie导子等线性映射在理论研究和实际应用中都有着重要的地位。Hilbert C*-模理论在算子代数理论中扮演着重要的角色，可以应用在很多方面，例如非交换几何、K-理论，以及椭圆算子的指标理论等等。因而 Hilbert C*-模算子代数是一类重要的算子代数。本项目拟考虑 Hilbert C*-模算子代数上的Lie导子及相关问题。

在算子代数领域，出于理论本身和实际应用的需要，许多学者研究了算子代数上的线性映射，如：同态、导子、Lie导子、乘子等等，在von Neumann代数、C*-代数、Nest代数等各类算子代数上，取得了一系列成果。这些成果不但有助于了解代数本身的结构，同时与很多其它问题也有着密切的联系。因此这个方向吸引了众多学者的关注，包括S. Sakai，R. Kadison，B. Johnson等学者都在这个方向做出了突出的贡献。其中，关于Lie导子的研究主要集中在两个方面。一是Lie导子的标准性问题，二是Lie导子的局部性问题。.Hilbert C*-模是 Hilbert 空间的一类非常重要的推广。Hilbert C*-模理论在算子代数理论中扮演着重要的角色，可以应用在很多方面，例如非交换几何、K-理论，以及椭圆算子的指标理论等等。.本项目主要研究Hilbert C*-模算子代数上的Lie导子及相关问题。起初拟定的研究目标主要有两个：第一，研究上的Lie导子是否都是标准的；第二，考虑及上的局部及2-局部Lie导子问题。.关于第一个问题，已经给出了肯定的回答，在相当弱的前提假设下，证明了上的Lie导子都是标准的。关于第二个问题，遗憾地是尚未完全解决，目前只有部分结果，有待进一步深入考虑。.除了Lie导子，同时还考虑了其它线性映射，包括中心化子，(m-n)若当导子，*导子等，得到一系列相关结论。