量子流体力学方程组的若干数学问题研究

Quantum mechanics is an important branch of modern physics, which mainly studies the motion of microscopic particles. Quantum fluid is an important research field in statistical physics and condensed matter physics. It can be used to describe many physical phenomena, such as superconductivity, superfluidity, the Bose-Einstein condensation. Recently, there are amount of the researches about the existence of the weak solution to the quantum hydrodynamic model and the researches about the quantum Euler-Poisson equation, but there are relatively few studies about the blow-up mechanism, asymptotic limit and the coupled quantum hydrodynamic model. In this program, we will investigate the blow-up mechanism of quantum hydrodynamic equations, and establish the blow-up criteria for several kinds of quantum hydrodynamic models. At this time, we will focus on the small parameter limit about the several kinds of viscous quantum hydrodynamic equations, such as the semiclassical limit and the vanishing viscosity limit. At last, we will study the global existence of the weak solution to the quantum Navier-Stokes-Maxwell equation and the quantum Navier-Stokes-Landau-Lifshitz equation.

量子力学是现代物理学的一个重要分支，主要研究微观粒子的运动. 量子流体是统计物理学和凝聚态物理学的一个重要研究领域. 它可以用来描述很多物理现象, 例如超导性, 超流性, 波色-爱因斯坦凝聚等. 目前关于量子流体力学方程的弱解存在性的研究以及半导体中的量子Euler-Poisson方程的研究已经取得了较多的进展, 但是关于解的爆破机制, 渐近极限, 以及耦合量子流体力学方程的研究相对较少. 本项目首先会研究量子流体力学方程组解的爆破机制. 其次本项目将会对带粘性量子流体力学方程组的小参数极限进行一些研究, 如半经典极限和粘性消失极限等. 最后我们将会研究量子Navier-Stokes-Maxwell方程和量子Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程的弱解存在性.

量子力学是现代物理学的一个重要分支，主要研究微观粒子的运动. 量子流体是统计物理学和凝聚态物理学的一个重要研究领域. 它可以用来描述很多物理现象, 例如超导性, 超流性, 波色-爱因斯坦凝聚等. 目前关于量子流体力学方程的弱解存在性的研究以及半导体中的量子Euler-Poisson方程的研究已经取得了较多的进展, 但是关于解的爆破机制, 渐近极限, 以及耦合量子流体力学方程的研究相对较少. 申请人前期已经给出了量子Euler方程在全空间上以及半空间上的光滑解的爆破时间，同时还证明了量子Navier-Stokes-Landau-Lifshitz-Maxwell方程组2维问题的弱解存在性。通过本项目的研究，我们已经给出了量子Euler方程组的两种爆破准则。同时还证明了粘性依赖于密度的量子Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的2维弱解存在性。通过本项目的研究将会更深入的了解量子流体力学方程组的解的爆破机制。同时我们也能够更加了解耦合量子流体力学方程组的一些性质，并且加深对量子力学方程组的性质的理解，也帮助了解更多的带量子效应的粘性流体力学方程组以及Landau-Lifshitz方程组，并解释一些新的物理现象。受项目资助已公开发表论文SCI收录论文3篇，待发表3篇. 培养硕士生3名，3人均在读。项目投入经费25万元，已支出13.423732万元，各项支出与预算相符。剩余经费计划用于本项目研究后续支出。