几类宏观和微观半导体方程的若干数学问题

The microscopic and macroscopic semiconductor equations are some typical of the nonlinear partial differential equations. They are charaterized by both hyperbolic and elliptic, and even parabolic, third-order disperse and singular integral term. This project mainly make full use of the relative theories, research methods and thechniques in the nonlinear partial differential equations to discuss some mathematical problems，such as well-posedness, stability of waves, L^p estimate, pointwise estimate and limit analysis of stationary solution and non-stationary solution for the bipolar (quantum) Euler-Poisson equations, the nonisentropic quantum Euler-Poisson equations, the multi-dimensional drift-diffusion equations, the compressible (quantum) Navier-Stokes-Poisson equations, and semiconductor Boltzmann equations, and obtain some important results. Through obtained results, we believe that they can not only enrich the theory of nonlinear partial differential equations, but also provide theoretical support and test scale for numerical calculation and engineering application.

宏观和微观半导体方程，都是非常典型的非线性藕合偏微分方程组。它们既有双曲特征，又有椭圆特征，甚至还有抛物特征、三阶色散项和奇异积分项。本项目主要运用现代偏微分方程的相关理论、方法和技巧，讨论（量子）双极Euler-Poisson方程、非等熵量子Euler-Poisson方程、双极（量子）漂移-扩散方程、（量子）可压Navier-Stokes-Poisson方程以及半导体Boltzmann方程等的若干数学问题，例如（跨音速）稳态解和非稳态解的适定性、波的稳定性、L^p估计和逐点估计以及相关极限分析等，得到一些重要结果。通过所得结果，我们相信它们既能充实非线性偏微分方程组的理论，也能为数值计算和工程应用提供理论支持和检验尺度。

宏观和微观半导体方程，都是非常典型的非线性藕合偏微分方程组。它们既有双曲特征，又有椭圆特征，甚至还有抛物特征、三阶色散项和奇异积分项。本项目主要运用现代偏微分方程的相关理论、方法和技巧，讨论了这些宏观和微观半导体模型，如（量子）Euler-Poisson方程，可压缩Navier-Stokes-Poisson方程，（量子）漂移-扩散方程，半导体Boltzmann方程的若干数学问题，例如稳态解和非稳态解的适定性、波的稳定性 、L^p估计和逐点估计以及相关极限分析等。.所取得的部分重要结果：等熵可压缩Navier-Stokes-Poisson方程的初边值问题的解的非线性复合波的稳定性、稳态解和非稳态解的零电子质量极限；双极Euler-Poisson方程的亚音速稳态解和跨音速稳态解的存在性、光滑小解收敛到相应扩散波（平面扩散波）的L^2收敛估计以及L^p收敛率以及逐点估计；多维等熵双极（量子）漂移-扩散方程的初边值问题的平面扩散波现象和收敛估计；量子Euler-Poisson方程的初值问题的解的适定性和长时间行为，以及的Riemann波的非线性稳定性和收敛估计；半导体Boltzmann方程的解的扩散极限分析；一些非自治流体方程的拉回渐近性和吸引子的存在性，以及等熵可压缩Navier -Stokes-Korteweg方程的初值问题和初边值问题的粘性激波、稀疏波和稳态波的稳定性。上述工作既能充实非线性偏微分方程组的理论,也能为数值计算和工程应用提供理论支持和检验尺度。