流体力学方程组的若干数学问题

本项目拟对流体力学领域中变密度的不可压缩Navier-Stokes方程、(高维)两组分Camassa-Holm方程及随机Navier-Stokes方程(随机Navier-Stokes-alpha方程)的整体适定性、稳定性以及解的长时间性态等若干问题进行研究。利用调和分析和微局部分析的工具，研究(高维)两组分Camassa-Holm方程整体(局部)适定性问题及解的blow-up机理、各向异性的Navier-Stokes方程组Cauchy问题的整体适定性理论以及关于粘性系数趋向于零的解的收敛性和正则性等问题；建立变密度Navier-Stokes方程(Navier-Stokes-alpha方程)Cauchy问题的整体适定性理论及解的精确衰减估计，进而得到解的整体稳定性。在上述研究基础上探讨随机Navier-Stokes(-alpha)方程解的整体存在性和唯一性。

本研究项目的结果包括两方面内容：(1). 变密度的不可压缩Navier-Stokes方程及其相关模型的整体适定性及稳定性理论;(2). 几类重要的Euler方程渐近模型的适定性及blow-up理论. 首先, 对三维变密度不可压缩Navier-Stokes方程, 研究了其整体光滑解的稳定性定理, 得到一类大初始速度下的整体适定性理论, 建立了大密度情形下此方程在临界空间中的局部和整体适定性理论;得到变导电系数下二维MHD方程的整体适定性理论. 在第二方面, 得到了Degasperis-Procesi 方程在临界空间中的局部适定性理论及其强解的blow-up准则,建立了mu-Camassa-Holm方程的整体解的存在性理论及blow-up机制,研究了高阶Camassa-Holm方程的局部适定性理论及blow-up机理;得到了超临界粘性Camassa-Holm方程(Navier-Stokes-alpha方程)的整体解的存在唯一性定理.