时空匹配的高精度格式在数值模式中的应用

The core of many weather and fluid dynamics problems are sets of time-dependent differential equations. The numerical errors in computing the equations are mainly affected by the orders of spatial and temporal schemes. Previous studies mainly focus on the precise computation of spatial derivate, while the order of applied scheme is low on the temporal direction. The mismatch influences the accuracy of long-time computation due to temporal error accumulation. The proposal proposes a high-order method which has cooperative spatial and temporal accuracy and can be applied to solve classical equations such as Lorenz equation, advection equation, Burgers equation and barotropic vorticity equation. Then, methods, such as the high-order difference scheme and spectral method, are used to accurately obtain spatial derivatives and formulate the corresponding high-order temporal items for Taylor integration scheme. The parallel computation is applied to speed up the computation of recurrent high-order derivate. We also compare the performance of new scheme with previous low order scheme. In addition, the new schemes are adopt in the spherical shallow water model and an atmospheric general circulation model to study the feasibility of applying the schemes in the real numerical simulation.

天气和流体力学中许多问题的核心框架都是一套依赖于时间的微分方程组，求解时误差的大小主要取决于空间和时间方向的算法精度，以往对空间导数的精确计算研究较多，但时间积分方案多采用较低的阶数，这导致了一些模式空间、时间计算精度不匹配，影响了模式长时间计算的准确性。本项目拟研究高精度且时空匹配的数值格式的理论和方法，对典型的方程如：Lorenz方程、平流方程、Burgers方程，正压涡度方程等采用新的格式进行计算，以验证其合理性。解决算法实用性中的科学问题，包括时间积分的高阶递归计算格式设计及其并行计算，然后，根据各模型方程的特点，采用高阶差分算法和谱方法等精确计算空间导数项，推导与其匹配的时间积分方案。此外，对时空匹配的高精度计算格式进行误差分析，并与低阶格式对比，研究高阶格式对模拟结果的改进，最后，以球面浅水方程和一个实际的大气环流模式为例，探讨其应用于未来实际数值模拟研究中的可行性。

数值求解发展型微分方程，是大气科学中常见的问题，而解的误差大小主要取决于空间和时间方向的算法精度。以往对空间导数的精确计算研究较多，但对高阶间积分方案研究较少，这导致了一些模式空间、时间计算精度不匹配，影响了模式长时间计算的准确性。.本项目研究了高阶且时空精度匹配的数值算法理论，给出了具体实现方案。对典型的方程如：混沌动力系统、哈密顿动力系统、一维平流方程、Burgers方程，二维平流方程、准地转方程等采用了高阶格式进行数值模拟。.结果表明：提出的并行计算方案，能够将混沌动力系统的计算速度提高500倍以上；首次得到了Lorenz系统0-10000的可信数值解；提出的FPA计算方案能够将周期Hamilton系统的耗时按对数形式减小；实现了时间-空间精度相匹配的Taylor_Li算法；对更复杂的PDE系统，探讨了高阶RKL算法方案，对二维系统的试验表明，它能取得较好的计算效果。.提出了评估数值模式可信计算时间的STC方案，且应用于实际大气和海洋环流模式的可信计算时间及可预报性研究。对大气环流模式ECHAM的研究结果表明，北半球的平均可信计算时间为10天左右。海洋模式以非耦合的方式运行时，其海表温度SST 的可信计算时间较长，平均达到6 个月以上，而以耦合方式运行时仅为1个月左右；.研究的科学意义在于：发现了即使Lorenz方程这样的混沌系统，只要它是确定性的方程，那么其解也是确定性的，即使该解是混沌的。通过不断改进技术，可以获得更高质量的数值解。试验证明了高阶算法的潜力，突破以前认为的6阶以上空间算法无效的认识，成功的将PMT算法的核心理念推广到偏微分方程系统，并且取得了好的效果。