介质热传导反问题的正则化方法及数值解

Inverse heat conduction problems(IHCP) deal with the estimation of unknown quantities appearing in the mathematical formulation of physical processes in thermal sciences, by using measurements of temperature, heat flux, radiation intesities, etc. Nowadays, inverse analyses are commonly encountered in single- and multimode heat transfer problems which arise from diverse industrial applications and their requirement, dealing with multiscale phenomena. Applications range from the estimation of constant heat transfer parameters to the mapping of spatially varying and time-varying functions, such as heat sources, fluxes, and thermophysical properties. Those problems are mathematically and numerically very challenging due to their inherent ill-posedness and nonlinearity. Therefore, special numerical techniques are required for the solution of inverse problems. This project attempts to design some effcient algorithms based on both Bayesian statistical approached and deterministic regularization methods for the inverse heat conduction problems. The specific inverse problem under consideration arises in steel producing process. It consists of two parts: Part I discusses the application of the meshless method for the IHCP, especially in the two-phase Stefan problems and high dimension parameter estimation problems, while Part II studies the Bayesian inference approach for parameter estimation problems associated with PDEs. The aim of this part is to establish the corresponding theoretical results and to develop several techniques for accelerating the Bayesian computation in order to further improve their utility on the non-linear inverse problems.

由于工业生产的推动，介质热传导问题受到了广泛关注。实际热传导问题所能提供的数据往往是不完全的，带有很大的随机误差，同时相应问题还具有非线性以及严重不适定性，因此经典的数值方法处理这些问题将变得十分复杂，稳定性难以保证。对这类非线性不适定模型进行数学理论分析，结合有效的正则化方法提出和发展新的高效稳定算法是目前热传导反问题及其应用中迫切需要解决的问题。本项目将围绕钢铁生产中的介质热传导反问题开展两个方面的研究。一是研究处理介质热传导反问题的无网格方法，发展该方法在处理介质热传导反问题尤其是关于二相界面重建以及高维热传导参数识别问题中的有效应用，拟得到一些突破性成果。二是研究处理介质热传导问题参数识别的贝叶斯推断方法，旨在贝叶斯框架下建立相应的理论结果以及数值算法的快速实现，进一步提高该方法的有效性和实用性。通过这些问题的研究，给出解决介质热传导反问题的有效数值计算方法及理论分析。

由于工业生产的推动，介质热传导问题受到了广泛关注。实际热传导问题所能提供的数据往往是不完全的，带有很大的随机误差，同时相应问题还具有严重的不适定性，因此经典的数值方法处理这些问题将变得十分复杂，稳定性难以保证。对这类反问题模型进行数学理论分析，结合有效的正则化方法提出和发展新的高效稳定算法是目前热传导反问题及其应用中迫切需要解决的问题。本项目围绕介质热传导反问题开展三个方面的研究，一是利用有效的无网格方法结合确定性正则化方法讨论分数阶微分方程正问题及其反问题的求解方法；二是基于替代模型的快速贝叶斯方法的研究，特别是具体应用在非线性系数识别问题中的研究；三是结合研究过程中的新发现，开展新型随机计算方法研究。围绕上述三个问题的研究，本项目获得了以下重要成果:.(1)构造了求解二维分数阶微分方程正问题和反问题的Kansa型基本解方法，数值结果表明该方法结合正则化技巧可以得到高精度的数值逼近解，尤其对非规则区域仍然可以得到高精度的数值逼近解；(2)研究了求解通过非局部边界条件来反演未知边界数据的逼近特解方法，分析了无网格方法中自由参数对数值结果的影响，提出了基于LOOCV的选取自由参数的方法，提高了无网格方法在求解介质热传导反问题中的应用；(3)对于时间分数阶微分方程边界数据重构反问题，证明了反问题解的唯一性，提出一种基于数据光滑化的正则化方法，建立了相应的收敛性结果;(4) 对具有非局部积分边界的分数阶微分方程边界源项识别问题，建立了该反问题的唯一性结果，基于数据光滑化的思想，提出一种新的正则化方法，构造相应的正则化解，给出收敛性分析;(5)发展了一种基于随机替代模型的快速贝叶斯方法，证明了基于替代模型所得到的近似解和真实解之间的误差分析，设计了基于L1优化的随机配置方法来求解随机替代模型，提高了方法的有效性和实用性;(6)由于课题的自然延伸，我们还发展了基于L1-L2优化的新型随机配置方法，给出利用该方法求解稀疏重构问题时测量矩阵所需要满足的RIP条件，并将该方法用于不确定量化中。在本项目的支持下，已发表6篇SCI论文，参加了3次国际会议，主办了一次国内学术研讨会，圆满的完成了本项目预计完成的研究任务。.