带有随机输入的偏微分方程反问题不确定性量化方法

The efficient schemes for solving the inverse problems in partial differential equations (PDE) with random inputs are important research areas in modern scientific computations. The randomness of the indirect observations and the uncertainty of the PDE model would certainly affect the inverse solution, and rigorous quantification of their effect on the inverse solution would allow enhanced decision-making strategies and deeper insight into the inverse problem. However, the numerical analysis of inverse problems under uncertainties remains largely unexplored due to unprecedented computational challenges associated with stochastic numerics. Therefore, the development of computationally efficient and mathematically founded stochastic inverse methods that could account for uncertainties and that are able to provide the inverse solution with its uncertainties quantified is compelling. Based on the regularization theory, this project attempts to design some efficient and stable numerical methods for solving inverse problems under uncertainty. Firstly, we consider the surrogate based Bayesian approach to the invese problem in PDEs with random data, and discuss the mathematical properties relevant its numerical computations. Secondly, we discuss the application of stochastic collocation method for uncertainty quantification in stochastic inverse problems from a stochastic optimization framework. The study of these issues mentioned above is critical importance, not only to the research of mathematical, but also to achieve a high-fidelity numerical implementation of the stochastic models.

带有随机输入的偏微分方程（PDE）反问题的不确定性量化方法是现代计算数学的一个重要研究领域。由于问题的不适定性以及数据的随机性和模型的不确定性，随机重建方法的构造和数值求解的不确定性量化是该类方法有效实现和评估的核心。本项目从数据和模型系统的不确定性两个方面，对量化PDE反问题模型及其数值解的不确定性在概率论框架下开展定量研究，同时结合正则化思想构造随机重建方法以恢复解对数据的连续依赖性。对确定性模型下带有随机数据的PDE反问题，研究基于替代模型的贝叶斯方法的理论分析和快速实现，重点研究基于数据驱动的替代模型的构造方法；对系统本身带有不确定性因素的PDE反问题，在随机优化的框架下考虑随机配置方法的有效数值实现。项目从问题驱动的角度研究带有随机输入的PDE反问题的不确定性量化方法，无论是对数学研究本身，还是对随机模型高可信度的数值实现，都具有重要的意义。

偏微分方程反问题不确定性量化方法在众多尖端领域有着重要的应用，其研究因涉及模型与数据的不确定性以及自身的不适定性而充满挑战。贝叶斯反演方法是处理此类问题最基本、最重要的方法之一。该方法在实际应用中的主要困难在于其超高的计算复杂度，如何设计快速算法使其在实际应用中达到计算效率与反演精度的平衡是研究的前沿、核心问题。本项目围绕该问题，对量化PDE反问题模型及其数值解的不确定性在贝叶斯框架下开展定量研究。项目结合现代数学工具和技巧，研究了基于多保真建模的快速贝叶斯方法,设计了结合代理模型的多保真MCMC格式，提高了传统方法的有效性和实用性；研究了基于深度学习的快速贝叶斯方法,提出了基于多信息来源的自适应代理模型的构造方法，并检验了算法的可靠性和稳定性; 研究了基于降阶模型的集合卡尔曼反演方法，发展了一类基于核学习的非侵入式降阶模型的构造方法，并提出了一种随机LOOCV方法用于设计核函数的超参数，将传统的LOOCV的计算复杂度由O(N^3)降到O(N^2)；同时结合物理模型几何信息，设计了基于代理模型的基于优化的抽样格式求解贝叶斯反问题，在数值上检验了算法的可靠性和准确性。由于课题的自然延伸，还研究了基于Stein变分推断（SVGD）的粒子型方法，设计了基于局部近似的SVGD方法，在精度不受影响的情况下大大提升了计算效率; 建立了基于自适应核学习方法的无梯度SVGD方法，突破了传统方法在高维参数反演以及具有局部结构情形下计算时间与计算精度难以平衡的关键技术；研究了基于深度学习的先优化后抽样的MCMC格式；对于核学习方法设计了不依赖于数据的最优训练点集的选择方法。这些内容极大的扩充了本课题的研究，为未来的进一步研究指出了新的方向。项目从问题驱动的角度开展研究，其研究成果无论对数学研究本身还是对随机建模高可信度的数值实现，都具有重要的意义。在本项目的支持下，发表12篇SCI论文，资助研究生7名,圆满的完成了本项目预期研究目标。