非线性Schordinger方程及其相关问题的变分方法研究

In this project we will study the existence of solutions and properties of the solutions for a class of nonlinear Schrodinger equations and its relevant elliptic equations via variational methods and critical point theory. Arised from quantum physics，this class of Schrodinger equations have many important applications in nonlinear optics, electromangetics, condensed matter physics, etc, and become a hot spot of current research in the field of nonlinear functional analysis. The equations have attracted the interest of many mathematical researchers, and obtained a large number of outstanding research achievements, as well as many challenging research topics are left. This project contains the following three aspects: (1) We try to set up the general method for the study of the existence and multiplicity of Schrodinger equations with strongly indefinite potentials and nonlinear terms, and explore the influences of various potentials on the existence of solutions and properties of the solutions for the equations; (2) We will study the solvability, the multiplicity and the properties of solutions for a class Schrodinger-Poisson system with sign-changing potentials or potentials vanishing at infinity; (3) We will discuss the solvability, the multiplicity and the properties of solutions for a class of singular elliptic equations and couple systems on bounded or unbounded domains, and we will also study the solvability of some constrained optimization problems by combining with the optimization techniques such as the augmented Lagrangian function method, etc.

本项目拟应用变分方法和临界点理论研究一类非线性Schrodinger方程及其相关的椭圆方程的解的存在性和解的性态问题。这类方程起源于量子物理，它在非线性光学、电磁学、凝聚态物理等领域中有着许多重要的应用，是当今非线性分析领域的研究热点，吸引了众多数学研究者的兴趣，涌现出了大量突出的研究成果，同时也留下了一些极具挑战性的课题。本项目的研究包含了下面三个方面的内容： (1)建立研究算子和非线性项都是强不定时Schrodinger方程解的存在性和多重性的一般方法，探索不同的位势函数对方程解的存在性与解的性态的影响； (2)研究在位势变号及位势在无穷远处消失时，Schrodinger-Poisson系统的可解性和多解性及解的性态； (3)研究有界或无界域上一类奇异椭圆方程及其耦合方程组的可解性、多解性及其解的性态，并结合增广拉格朗日函数方法等优化技巧寻求一些约束优化问题的可解性。

本项目围绕具有较强物理背景的Schrodinger方程和方程组开展研究，其研究成果主要集中在下面三个方面：一是通过引入新的函数空间，利用变分方法，获得了全空间上一类强不定的双调和椭圆方程非平凡解的存在性结果，并分析了该解关于参变量的渐近性态；通过建立Rellich不等式和利用下降流方法，在半空间上获得了一类p-双调和方程在含Hardy位势的Navier边值条件下的正解、负解及多重变号解和多重变号解的存在性结果；二是利用变分的方法和扰动技巧获得了当参变量满足一定条件时一类4维空间的有界区域上含Kirchhoff非局部项的Schrodinger方程非平凡解的存在性和非存在性的结果，并部分回答了一个开问题，同时我们通过建立一个辅助的方程组求解也获得了一类N（N>2）维有界区域上Kirchhoff非局部项的Schrodinger方程变号解存在性，变号解的结点域的个数，解随参数变化的集中性质以及变号解的能量估计等结果；三是对含双调和算子或一般退化的拟线性算子，非线性项含有Hardy-Rellich型奇异位势以及单个或多个Hardy-Sobolev和Caffarelli-Kohn-Nirenberg临界指数的耦合椭圆系统，利用变分方法，应用Lions集中紧性原理和Palais对称临界原理，通过对临界项与扰动项相对应的无穷小量的阶精细的刻画获得了所研究系统的非平凡对称解、正解及多重解的一系列存在性结果。此外通过建立p-Laplace方程或含非局部项的椭圆方程的解的唯一性结果，获得了与方程对应泛函的优化重排问题的存在性结果。