非线性特征值问题及其相关问题

本项目主要研究以下三个方面的问题：一、在有界或无界区域上，研究一类拟.线性椭圆方程的非变分结构的特征值，并尝试利用拓扑和变分的方法寻求相关联的椭圆边值.问题的可解性和多解性及其解的性态；二、对于全空间上一类具有某些特殊性质位势（如零.下界位势，变号位势等）的Schrodinger 算子，给出其特征值的刻画，并研究与之相关联的.非线性椭圆边值问题即通常所说的非线性Schrodinger 方程变号解的存在性及多解的存在.性；三、利用非光滑分析技巧、优化技巧等非线性分析的手段，研究与所论边值问题相关的.变分不等式以及半变分不等式问题的可解性和多解性，进而应用这些研究结果以及非线性泛.函分析的有关理论，来研究与相关的椭圆边值问题本身的多解性。

本项目的研究成果主要集中在下面三个方面：一是在有界区域上，利用极大极小方法、下降流不变集方法等变分方法分别获得了一类含Sobolev临界指数项的拟线性椭圆特征值问题无穷多变号解的存在性结果，p-双调和方程及方程组的变号解和多重变号解的存在性结果，并在有界和无界区域上，对含Caffarelli-Kohn-Nirenberg临界指数项的若干类奇异非线性椭圆型方程的对称与非对称解的存在性进行了较为系统地研究，获得了一系列研究成果；二是利用改进的Nehari流形方法、自创的扰动方法等手段在全空间上研究了可变号位势的Schrodinger方程以及无穷远处消失位势的Schrodinger-Poisson方程，获得了基态解、极小能量变号解以及多解的存在性结果；三是利用多值映射的Ky Fan定理、有限交性质定理、环绕定理和非光滑临界理论等非线性泛函分析的工具获得了几类椭圆型半变分不等式在不同情形下的可解性和多解性结果，并在有界区域上，通过构造罚方程逼近方法获得了一类双障碍变分互补问题（或等价的变分不等式问题）的可解性结果，并进行了数值模拟，验证了罚方程逼近方法的可行性。同时，对无穷维Banach 空间上的一类锥约束优化问题进行了研究，获得了一系列新的结果。