低维动力系统中吸引子与SRB测度的研究

Low-dimensional dynamics is an integral part of the theory of dynamical systems and an active research field in pure mathematics. The project aims to develop methodology to solve several key problems concerning attractors and SRB measures in low-dimensional dynamics. The project contains the following three parts. ..(1) Typical property of interval dynamics. Prove that almost every polynomial interval map has finitely many SRB measures which govern the behavior of typical orbits. We shall also develop complex analytic tools to study interval maps with critical points of non-analytic type. ..(2) The absolute continuity of SRB measures on the fat-solenoidal attractors of Tsujii type and the relation with the fractal properties of the graphs of the classical Weierstrass functions. ..(3) Perturbations of interval maps. Study stochastic stability for several examples and construct examples of 2-dimensional maps with wild attractor.

低维动力系统是动力系统理论的重要组成部分，是国内外基础数学的热点研究领域之一。本项目拟围绕其中的吸引子和SRB测度等重要概念展开研究，以期发展方法解决若干关键科学问题，加深人们对低维动力系统的理解。本项目拟就以下三个方面开展研究：..（1）区间映射的测度论意义下的通有性质，期望证明测度论意义下通有的多项式区间映射的统计性质可以被有限多个SRB测度描述。同时，拟发展复分析工具来研究具有非解析型临界点的区间映射的动力系统性质。..（2）拟研究Tsujii型粗螺旋管吸引子上的SRB测度的绝对连续性及其与经典维尔斯特拉斯函数图像的分形性质之间的联系。..（3）拟研究区间映射的扰动，研究若干重要类型的区间映射的随机稳定性，并构造具有非正则Cantor吸引子的二维映射的例子。

本项目围绕低维动力系统的吸引子(排斥子)和SRB测度展开研究，主要研究内容包括一维实和复动力系统、二维斜积系统和遍历理论。在国际重要期刊Invent Math、Adv Math、Mem AMS、Tran AMS、Sci China Math等共发表论文34篇，培养了6名博士后、9名博士研究生和4名硕士研究生。本项目取得的主要研究成果有：（1）对魏尔斯特拉斯型函数图像的豪斯多夫维数的研究取得突破。我们将这类函数图像看作一类二维斜积映射的斥子，对这类斜积映射建立了横截性，发展了Barany等关于二维自仿射测度维数方法的非线性形式；（2）首次将拟共形手术的方法用到复多项式的Feigenbaum型重整算子的研究，证明了关于高次复多项式重整的Inou-Kiwi猜想；（3）证明了具有Cantor圆周拓扑的双曲Julia集拟对称等价于标准Cantor圆周，并由此得到了其精确的共形维数;（4）通过三种度量研究了相关的有限复杂性的动力系统，得到了有限复杂性、测度平均等度连续与离散谱之间的关系；（2）发展了可以用于处理局部全纯的一维动力系统族横截性的复分析方法，该方法可以部分地处理非整数幂单峰映射族拓扑熵的单调性问题。 此外，我们还在Julia集的拟对称几何、单峰映射的Lyubich-Milnor型重整、Sarnak猜测和群作用的动力系统等问题的研究中取得了重要进展。