具有高阶矩阵谱问题的可积系统的Riemann-Hilbert方法的研究

Riemann-Hilbert Problem is one of the Hilbert's 23 famous mathematical problems. RH problem was started to applied in integrable system in the late of 1970s. At the 1990s, Deift and Zhou found a steepest desecent method for oscillatory matrix Riemann-Hilbert problems, and Fokas estabilshed an unified transform method to analyse the initial-bourdary value problem based on matrix Riemann-Hilbert problems. With this new method came the nice possibility to rewrite known asympotic resultss for different integrable models in a rigorous and transparent form and obtain numerous new significant results in the theory of completely integrable nonlinear equations, random matrix models, orthogonal polynomials and integrable statistical mechanics. Until now, Deift and Fokas method ususlly are used in integrable system with two-order matrix spectral problem, it is a challenge to analysis the integrable system with three-order spectral problem.. Based on the operator and spectral theory,scattering theory, Deift-Zhou method and Fokas method, this project concentrate on the following problems related to high-order Riemann-Hilbert problems: 1.Coustruct the solution to the initial-boundary value problem for integrable systems with higher order Lax operator. 2. Long-time asymptotics for integrable systems with higher order Lax operator and initial date. The results of this project will contribute the study of properties, structure and inner connnections of integrable systems.

Riemann-Hilbert（RH）问题是Hilbert著名的23个数学问题之一。70年代末，RH问题开始应用于可积系统的研究，但关于可积系统初边值问题的研究以及解的长时间渐近行为的研究一直是具有挑战性的课题。90年代，Deift提出了一套求解振荡RH问题的非线性速降法来解决长时间渐近性，Fokas发现了一套统一变换法来求解初边值问题，这两个方法是可积系统中具有突破意义的成果，并且广泛应用于其他学科。目前Deift及Fokas方法主要研究二阶矩阵谱问题的可积系统，对于三阶谱问题的研究成果非常少。.本课题主要基于散射理论、谱理论以及Deift-Zhou和Fokas方法研究具有高阶谱问题的可积系统的RH问题，这样的RH问题的跳跃矩阵一般都是高阶的。重点我们研究如下几个问题：1.具有高阶谱问题的可积系统的初边值问题的求解；2.高阶谱问题的可积系统初值解的长时间渐近行为。

从上世纪七十年代开始，Riemann-Hilbert问题开始应用于可积系统领域，但绝大多数是对经典的具有2*2的谱问题的可积系统的研究。关于高阶以及负阶族谱问题的可积方程的RH方法的研究较少，本项目就主要研究这些可积方程的RH问题。具体而言，本项目主要研究了两分量非线性薛定谔方程等的有限区间上的初边值问题以及短脉冲方程等的长时间渐近行为。本项目首次将剑桥大学Fokas教授提出的统一变换方法推广到高阶谱问题的可积方程的有限区间初边值问题，我们证明了有两种方式分析有限区间上的初边值问题中的全局关系，并且两种方式是等价的，同时我们还证明当有限区间的右端趋于无穷时，有限区间上的结论可以渐近到半直线。我们利用非线性速降法首次研究了具有WKI型负阶族谱问题的短脉冲方程初值问题的长时间渐近行为，所得到的结果比只用PDE的手段所得的结果更精细，更明确。