金融衍生品定价中的若干随机分析新问题

In this project, we are going to study several stochastic problem rising from pricing of financial derivaitives in mathematical finance. It contains using backward stochastic differential equations with constraint to study the pricing problems with hedging constraint in the market which is not assumed to be complete and which has non-linear mechanism. In particular, we are interesting in pricing problem with ratio constraint, as well as bid price, ask price and spread of contigent claim, and their numerical simulations; it also includes the Monte-Carlo type's numrical solution of reflected BSDE based trajectories' property and its convergence; and the bound of model-independent price of exotic derivatives and related martingale optimal transportation, we will study both theoretical results and numerical analysis.

本项目主要研究几个金融衍生品定价中的随机分析问题，包括利用带约束条件的倒向随机微分方程来研究当不假定市场完备时，在非线性市场机制下带有交易限制的定价问题，同时具体研究带比例限制的定价问题，和一般框架下未定权益的买卖价格及价差，以及数值模拟；我们还计划研究反射型倒向随机微分方程的基于轨道性质的Monte-Carlo型数值解和收敛性；同时开展复杂衍生品的不依赖模型的定价区间和相关的鞅最优传输问题的理论研究与数值分析。

在项目执行的四年里，我们在不完备市场中的受限金融产品的定价问题研究中，找到一个不完备市场中的带比例限制定价非平凡定价的例子，严格证明了它的存在性，并且系统研究了它与带比例限制的倒向随机微分方程的关系。同时我们完成了反射型倒向随机微分方程的轨道意义下解的刻画，并给出多种带非线性阻尼的反射型倒向随机微分方程的解的存在唯一性结果。在最优传输问题上，利用一个概率方法将2维情形著名的Monge-Kantorovich问题转化为一个Dirichlet边界问题. 我们给出了一个完整和清晰的新证明。我们还研究了经典的马科维茨均值-方差分析，考虑回报率给定求使得回报的方差为最小的投资组合策略。在初始财富限定条件下，给定利得时求出使得利得的方差为最小的投资组合策略，这一新的均值-方差分析框架更为合理。同时我们利用分位数函数表述方法推导出Rank Dependent Utility框架下投保人最优保险合同的设计，其中效用函数是凹函数，概率扭曲函数是反S型的。结果表明，最优保险合同不仅可以对超过一个大限额的损失进行部分赔付，而且对小的损失完全赔付。