蒙特卡罗加速方法及其在金融衍生品定价中的应用

金融衍生品定价问题是现代金融理论一个极其重要的研究领域。随着市场的日益复杂，标的资产如股票价格、汇率、浮动利率等变化过程也变得越来越复杂，为了准确地刻划这些复杂特性，就必须提出比几何布朗运动更为复杂的假设。同时具有复杂收益特征的新型衍生品也得到了迅速发展。因此具有复杂结构的高维衍生品日益成为金融市场的主要产品。而它们的价格往往没有解析表达式，通常的数值方法如二叉树方法等也无法求解，只能依赖蒙特卡罗方法求解。为了提高求解精度、减少求解时间，各种加速方法或技巧的使用就很有必要。.本研究项目主要针对国内外市场中一些重要衍生品的定价设计一些新的控制变量与重点取样蒙特卡罗加速方法。特别是多维或随机波动率模型下欧式期权的优化重点取样与控制变量加速方法，由Levy过程驱动的衍生品和随机利率Libor模型驱动的利率衍生品定价的加速方法，美式期权定价的控制变量蒙特卡罗加速方法。

蒙特卡罗方法是金融工程、计算数学以及其它科学研究以及工程中广泛使用的重要计算工具之一，它具有计算稳定、收敛、算法简单、并行化程度高，以及适用范围广的优点。因此除了是一种重要的计算工具以外，它还经常被用来检验其它计算方法好坏的标准。但是它又有收敛速度慢的缺点。为此本项目旨在拓展蒙特卡罗方法在金融数学（工程）领域的加速技术，使得蒙特卡罗方法可以更好地解决金融中的各种典型问题。例如高维衍生证券的定价、Greek的计算以及在风险管理、度量中的计算问题。在四年项目研究期间，主要成果如下：1.提出了基于主成分控制变量的高维金融衍生证券定价的蒙特卡罗方差减少技术与GPU并行化实现，例如对Libor利率市场模型（LMM）的控制变量方法和GPU并行化混合加速计算、随机波动率模型的新的控制变量加速技巧和鞅控制变量加速技术；2.提出了一种新的随机利率模型参数估计的技术，并仔细比较了两种常用随机利率模型：Hull-White模型和CIR模型在实际使用中的差异性；3.针对实际市场中的基于跳扩散模型以及更广泛的Levy模型的衍生证券定价，提出了一种统一的重点取样方法以及平移系数确定的VSM技巧，并估计了收敛阶。此方法可以大大地节省计算时间；4.提出了一种新的金融参数对敏感性分析的条件蒙特卡罗方法以及更简洁的证明思路。