多复变量加权Bergman空间上的复合算子

The difference is remarkable between several complex variables and one complex variable. It is important to study composition operators induced by the holomorphic map of several complex variables because the diference can be revealed from the viewpoint of operator theory. The project is devoted to studying compact difference and topological structure of composition operators on weighted Bergman spaces of several complex variables. Firstly, by using the Schur test, we give a necessary and sufficient condition for compact difference of composition operators on weighted Bergman spaces of several complex variables. Also a weak sufficient condition is given for two composition operators being in the same path component. Thus we answer J.Shapiro's question:two composition operators with compact difference are in the same path component. Next,we investigate composition operators on a class of Sobolev spaces related with weighted Bergman spaces. Finally, assuming that the holomorphic self-map of the unit ball is sufficient smooth on the boundary, we try to find a criteria similar to Wogen's condition for conveniently deciding the boundedness of composition operators from a weighted Bergman space to another in the setting of several complex variables.

多复变与单复变有着显著的区别，通过研究由多复变全纯映射所诱导的复合算子，从算子理论角度上揭示二者之间的差异性具有十分重要的意义。本课题主要研究多复变量加权Bergman空间上的复合算子，探讨复合算子紧差以及算子拓扑结构问题。首先，使用Schur test方法给出复合算子的差在多复变量加权Bergman空间为紧算子的充要条件，然后给出两个复合算子在同一个道路连通分支的一个较弱的充分条件，并就此回答J.Shapiro提出的一个问题：复合算子的紧差蕴含着其道路连通性。同时，我们也研究一类与加权Bergman空间密切相联系的Sobolev空间上的相关复合算子问题。最后，假设单位球上的全纯自映射在边界处足够光滑，我们试图找到一个类似于Wogen条件的准则,以便于判定复合算子将一个多复变量加权Bergman空间映射到另一个空间上的有界性问题。

本项目主要研究多复变量加权全纯Bergman空间以及广义Fock空间上的复合算子。将某个函数空间上的有界复合算子的全体作为一个集合，赋予算子范数的拓扑结构后，研究复合算子的拓扑连通性与道路连通性是复合算子理论研究领域的一个热点。我们取得的主要进展如下：利用伪双曲距离及角导数，首次给出加权全纯Bergman空间上两个复合算子在同一个道路连通分支的新的充分条件，我们也证明了这个条件在某种意义下也是必要的。作为一个推论，我们回答了Shapiro 提出的一个问题：单位圆盘Bergman空间上的复合算子的紧差蕴含着道路连通性。同时，通过精确刻画广义多复变量Fock空间的性质，我们对广义Fock空间上所有有界复合算子的拓扑连通性作了一个完全分类，我们的结果表明：广义Fock空间上有界复合算子的拓扑连通性与道路连通性是等价的。此外，我们还准确计算出在广义多复变量Fock空间上有界复合算子的范数，这证实了MacCluer等人提出的一个猜想。