Bergman 空间上非解析符号的复合算子

Composition operator is an important branch of operator theory and a typical object of study involves analytic symbols. Classical composition operator is one of the major parts of operator theory on the function space. In this proposal, we will extend the theory of composition operators on the Bergman space from analytic symbols to non-analytic ones and study their applications to harmonic analysis. The symbols we use are quasiconformal mappings, quasiregular mappings and finite distortion mappings. First of all, to study their operator problems, we introduce both discrete stochastic method, dyadic method, two weight inequalities and other ideas and techniques in harmonic analysis and the geometrical deformation of mapping theory. In addition, new questions and approaches in harmonic analysis are motivated by composition operators. In particular, we use operator approaches to study twisted Bergman projection which is a new non-Calderon-Zygmund operator on the unit disk. This proposal will promote intersections of operator theory, harmonic analysis and complex analysis.

复合算子是算子理论重要的研究内容。经典复合算子以解析符号为对象，是函数空间算子论重要的组成部分。本项目突破传统复合算子符号的限制，以拟共形、拟正则和有限扭曲映射为符号，考虑 Bergman 空间上这三类非解析符号复合算子的性质及在调和分析中的应用。一方面，我们将调和分析中离散随机方法、二进模型、双权不等式和复分析中几何形变分析引进到复合算子的研究，为算子论的发展注入新活力。另一方面，复合算子也为调和分析提供了新问题和研究方法，促使新型非 Calderon-Zygmund 积分算子--扭曲 Bergman 投影算子的研究。拟用函数空间算子论的方法，系统研究这类奇异积分算子。通过深入研究，本项目有望对算子论、调和分析和复分析间交叉融合发挥积极作用。

本项目以 Bergman 空间上非解析符号复合算子为出发点，研究了与之相关的函数空间及其上 Toeplitz 算子/矩阵，Carleson 测度等相关问题。主要研究进展包括（1）比较系统得到拟共形符号复合算子的基本理论，刻画其有界、紧等基本的算子论性质。（2）讨论一类加权 Bergman 空间上 Toeplitz 算子的可逆等算子性质。（3）得到 Dirichlet 空间上 Carleson 测度的新的刻画。（4）定义并系统研究了自由半群上的 Toeplitz 算子的基本理论，并将其应用到树上平稳过程及行列式点过程的研究。上述进展在一定程度上推动了相关问题的研究。