非线性分析与辛几何中的若干问题的研究

本项目将以非线性分析与辛几何中的具有重要意义的几个问题作为研究对象，利用非线性分析的方法，尤其是临界点理论和指标理论，着重研究非线性哈密顿系统的周期解和具有Lagrange边值的解的多重性以及稳定性问题，例如在固定能量面上闭特征以及闸轨道的多重性和稳定性问题，这是辛几何与非线性分析领域中的具有重要意义的一类问题。同时，还研究非线性偏微分方程中的具有变分结构的一些边值问题的存在性和多重性问题，这些问题都具有明显的物理学背景和几何背景，有着现实的应用价值和理论意义。通过对这类问题的研究，对于进一步认识理解整体分析，微分动力系统，微分几何尤其是辛几何之间的相互联系具有重要意义。同时，通过这个项目，组织年青的学者跟踪国际数学前沿研究方向和发展趋势，并且有针对地研究其中的一些问题，对于培养数学专业高级人才具有相当重要的意义。

1.围绕哈密顿系统固定能量面上的闭特征的多重性与稳定性，包括闸轨道的多重性与稳定性问题开展工作。在这方面的研究工作中，近年来取得了显著的进展和突破，我们近来证明了在对称2n-1维凸能量面上， Seifert猜测是成立的，即证明了在对称2n-1维凸能量面上至少有n条闸轨道，也就是在这种情况下给这个有六十多年历史（1948）的著名猜想一个正面的回答。我们在这个方面的工作也是分三个阶段完成的，第一个阶段，建立与此问题相适应的指标理论和指标迭代理论，证明在非退化条件下，对称2n-1维凸能量面上至少有n条几何相异的闸轨道，并对一般情形得到[n/2]+1条几何相异的闸轨道的下界估计。第二个阶段，利用已有的迭代指标理论，通过对指标的细致的分析改进上述下界估计，第三阶段，取得下界为n的最佳估计，即完成此种情形的Seifert猜测的证明。. 2. 研究哈密顿系统的一些非周期问题，例如P-边值问题的指标理论，并成功地把这些理论用于研究时滞微分方程组的周期解的存在性和多重性问题的研究，.并成功地把这些理论用于研究时滞微分方程组的周期解的存在性和多重性问题的研究，取得了很有意义的成果。.3. 在辛几何和辛拓扑方向的研究方面，对于具有对称性的辛流形，我们建立了一种对称辛容量理论，并由此研究了在更为广泛的具有对称性的紧切触流形上，证明了闸轨道的存在性，把Weinstein猜测推广到闸轨道的版本上来。.4. 利用临界点理论，研究一些偏微分方程的边值问题。