相场模型问题的稳定性方法及其相关问题的天元数学交流项目

This program is supported by the Tianyuan Mathematics Exchange Program of NSFC. It aims to provide a forum for researchers in China and overseas to exchange ideas on high-order and related numerical methods and applications of local and nonlocal phase-field equations. It also aims to promote collaborative research in these fields..In this program, the international and domestic famous mathematicians will be invited. We will explore the hot issues of the phase-field models in the field of computational mathematics and have cooperation on them. Meanwhile, we will discuss the mathematical modeling and the high-order numerical methods. The main research topic involves the numerical simulation research of the classical phase-field models and multiphase complex phase-field models, discussion of the efficient and stable numerical method, the physical characteristics of numerical schemes and the efficiency of practical application. At the same time, we will pay further attention to the nonlocal phase field models, which include the mathematical modeling, mathematical theory and numerical methods. And combined with practical problems, we will solve scientific problems in material science, financial science and image processing.

本项目是高水平的交流与研讨项目，拟邀请国际著名数学家和国内处于前沿水平的院士、专家学者，对计算数学领域的相场模型热点问题展开深度交流与合作，讨论数学建模和高精度算法及应用实现的关键问题。主要研究主题涉及经典传统相场模型和多相复杂相场模型的数值模拟研究，探讨高效稳定的数值方法，考虑数值格式的物理特性和实际应用的高效性；同时，进一步关注非局部相场模型的数学建模、数学理论和数值方法的研究。并与实际问题相结合，解决材料科学、金融科学以及图像处理等方面的科学问题。此次交流研讨活动，可以提高参加活动人员对相关问题背景更深入的了解、吸引更多的科研人员加入到相关问题的研究，促进关键科学问题的解决，合作撰写发表高质量科研论文。

相场模型是解决界面问题的数学模型，其经典的数学模型可以表示为带能量泛函的高阶非线性偏微分方程。近年来，涉及非局部算子的非局部模型也出现在各种各样的实际问题中，例如：材料科学、金融科学以及图像处理等应用领域。无论经典模型或非局部模型的严格数学理论分析和系统的理论框架都已经建立，但此类模型方程具有强刚性、非线性、高阶性等诸多难点，且方程本身具有很强的物理特性，如最大值原理、质量守恒、能量衰减等，这就使得传统的数值模拟手段面临新的挑战，限制高阶格式的构造。基于此点考虑，开展本项目。本项目是高水平的交流与研讨项目，邀请了国内外处于前沿水平的专家学者，对计算数学领域的相场模型热点问题以及高阶数值方法的构造展开深度交流与合作，讨论数学建模和高精度算法及应用实现的关键问题。我们交流研讨的主要内容和重要研究结果如下：（1） 相场模型的高效稳定性方法研究。（2） 非局部相场模型的数学建模、数学理论和数值方法。（3）对数值离散所得到的线性或非线性系统，尝试考虑高效快速的求解方法，自适应方法或与之相关的软件开发及应用等问题的最新研究成果。由于今年特殊的疫情，不能组织大型的会议，为了保障项目顺利实施，进行了丰富的线上、线下报告，也参加了线上讨论班和短期课程，内容涉及模型方程高阶稳定性方法的构造、非局部模型的数学理论和方法以及优化算法的设计，通过听取计算数学专家同行的报告，同时进行技术交流，进一步了解了研究拓展的方向，理清了研究的方向，达到了项目的预期研究目标。