带有奇性的梯度流问题的数值计算与分析

Gradient flow problems arise from the minimizer of some energy functionals in physical, material field, and then they are equivalently transferred to solve some partial differential equations, for examples, Cahn-Hilliard phase field model, phase field crystal model, molecular beam epitaxy model and micromolecular microsphere composite hydrogel model. This project aims to numerically solve those energy functionals with singular terms (such as logarithmic potential or zero denominator). We will focus on the numerical schemes based on energy functional convex splitting. The numerical solution of the discrete system is equivalent to the minimizer of some discrete convex functional, which plays a key role in this research project. It ensures the unconditionally energy stability and unique solvability. The convexity of the discrete functional, the singular term together with the maximum principle of the linear diffusion term may lead to the positivity-preserving property (to keep the singular terms well-defined), and also it can be used to design preconditioner for the nonlinear system to improve the computation efficiency. In the convergence analysis, the convexity of the system also shows great advantage.

梯度流问题是在物理、材料等领域中通过构造某种能量泛函求其极小而等价地建立起来的偏微分方程问题，例如Cahn-Hilliard相场模型，相场晶体模型，分子束外延模型和大分子微球复合水凝胶模型等。本项目将对带有奇性能量泛函（例如对数函数或者零分母的情形）的这类梯度流问题在数值计算和分析方面进行深入的研究，我们将主要研究基于能量凸分裂的计算方法，其中离散系统的求解等价于一个离散的凸泛函，这一点是非常关键的，可以由此得到关于能量绝对稳定性，唯一可解性。离散泛函的凸性和奇性项以及线性耗散项的极值原理可以确保数值解的正性（确保奇性项有意义），利用离散泛函的凸性还可以构造最速下降法的预条件处理器，结合经典的多重网格方法建立梯度流问题特有的快速算法，离散泛函的凸性在收敛性分析中也会显示出巨大的优势。

梯度流问题是在物理、材料等领域中通过构造某种能量泛函求其极小而等价地建立起来的偏微分方程问题，例如Cahn-Hilliard相场模型，相场晶体模型，分子束外延模型和大分子微球复合水凝胶模型等。本项目研究了带有奇性能量泛函（例如对数型或者零分母型）的这类梯度流问题，在数值计算和分析方面进行深入的研究，我们研究主要的数值方法是基于能量凸分裂的，并充分利用奇性本身的特点，逼迫数值解离开奇性点，从而使得奇性项有意义，完全避免了经常使用的人工截断的方法。其中离散系统的求解等价于一个离散的凸泛函，这一点是非常关键的，可以由此得到关于能量绝对稳定性，唯一可解性。利用离散泛函的凸性还可以构造最速下降法的预条件处理器，结合非线性多重网格方法建立梯度流问题特有的快速算法，离散泛函的凸性在收敛性分析中也会显示出巨大的优势。在本项目中，针对带有奇性项的梯度流问题，基本上可以形成框架性的做法，不限于对数型和零分母型，因此本项目的研究工作对于梯度流问题来说是非常有意义的贡献。在本项目的研究过程中，我们又将此框架推广到具有动力边界条件的梯度流问题中，并且取得了初步的研究成果。